46. Intersección de rectas

46.1 Introducción

Dos rectas en el plano pueden cortarse en un punto, ser paralelas o coincidir por completo. Cuando se cortan, su punto común se llama intersección.

El punto que cumple ambas ecuaciones es la solución del sistema.

46.2 Intersección como sistema

Encontrar la intersección de dos rectas equivale a resolver un sistema de dos ecuaciones.

Como ambas expresiones son iguales a y, podemos igualarlas.

46.3 Método por igualación

Para las rectas:

Igualamos:

Luego reemplazamos x = 2 en cualquiera de las rectas:

La intersección es (2, 5).

46.4 Verificación en JavaScript

const x = 2;
const y = 5;

const recta1 = y === 2 * x + 1;
const recta2 = y === -x + 7;

console.log(recta1 && recta2);

46.5 Fórmula para rectas no paralelas

Si tenemos:

La coordenada x de la intersección es:

Siempre que m1 ≠ m2.

46.6 Calcular intersección en JavaScript

function interseccion(m1, b1, m2, b2) {
  if (m1 === m2) {
    return "No hay una intersección única";
  }

  const x = (b2 - b1) / (m1 - m2);
  const y = m1 * x + b1;

  return { x, y };
}

console.log(interseccion(2, 1, -1, 7));

46.7 Rectas paralelas

Dos rectas paralelas tienen la misma pendiente y distinta ordenada al origen.

Como tienen la misma pendiente, nunca se cruzan. No hay intersección.

46.8 Rectas coincidentes

Dos rectas coincidentes representan exactamente la misma recta.

La segunda ecuación equivale a la primera. En este caso hay infinitos puntos de intersección.

46.9 Clasificar dos rectas

function clasificarRectas(m1, b1, m2, b2) {
  if (m1 !== m2) {
    return "Se cortan en un punto";
  }

  if (b1 === b2) {
    return "Son coincidentes";
  }

  return "Son paralelas";
}

console.log(clasificarRectas(2, 1, -1, 7));
console.log(clasificarRectas(3, 2, 3, -5));
console.log(clasificarRectas(2, 1, 2, 1));

46.10 Intersección con una recta horizontal

Si una recta horizontal tiene forma y = c, podemos reemplazar ese valor en la otra ecuación.

La intersección es (4, 9).

46.11 Intersección con una recta vertical

Si una recta vertical tiene forma x = c, reemplazamos ese valor de x en la otra ecuación.

La intersección es (3, 7).

46.12 Aplicación en programación

La intersección de rectas se usa para detectar cruces de trayectorias, calcular puntos de corte en gráficos, resolver restricciones y trabajar con geometría computacional.

const trayectoriaA = { m: 1, b: 0 };
const trayectoriaB = { m: -1, b: 10 };

const punto = interseccion(
  trayectoriaA.m,
  trayectoriaA.b,
  trayectoriaB.m,
  trayectoriaB.b
);

console.log(punto);

46.13 Errores comunes

• No revisar si las pendientes son iguales antes de dividir.
• Confundir rectas paralelas con coincidentes.
• Calcular solo x y olvidar calcular y.
• No verificar el punto en ambas ecuaciones.
• Tratar una recta vertical como si tuviera forma y = mx + b.

46.14 Qué debes recordar de este tema

• La intersección es el punto común entre dos rectas.
• Se calcula resolviendo el sistema formado por sus ecuaciones.
• Si las pendientes son distintas, hay una intersección única.
• Si las pendientes son iguales y las ordenadas distintas, las rectas son paralelas.
• Si ambas rectas son equivalentes, son coincidentes.
• En programación, conviene detectar casos especiales antes de dividir.

46.15 Conclusión

La intersección de rectas conecta sistemas de ecuaciones, funciones lineales y geometría. Es una herramienta práctica para gráficos, simulaciones y resolución de restricciones.

En el próximo tema veremos funciones: introducción, donde ampliaremos la idea de relacionar entradas con salidas.