49. Dominio e imagen

49.1 Introducción

Cuando estudiamos una función, no basta con conocer su fórmula. También debemos saber qué valores puede recibir y qué valores puede devolver.

El conjunto de entradas permitidas se llama dominio. El conjunto de salidas posibles se llama imagen.

49.2 Qué es el dominio

El dominio de una función es el conjunto de valores que puede tomar la variable independiente.

Si no se indica una restricción, esta función puede recibir cualquier número real.

49.3 Qué es la imagen

La imagen es el conjunto de valores que puede tomar la variable dependiente.

Si x es real, la salida nunca es negativa. Por lo tanto, la imagen es y ≥ 0.

49.4 Dominio por restricciones de división

Si una función tiene una división, el denominador no puede ser cero.

El denominador se anula cuando x = 3. Por lo tanto:

49.5 Validar dominio en JavaScript

function f(x) {
  if (x === 3) {
    return "x = 3 no pertenece al dominio";
  }

  return 1 / (x - 3);
}

console.log(f(5));
console.log(f(3));

49.6 Dominio por raíces cuadradas

En funciones reales, el radicando de una raíz cuadrada debe ser mayor o igual que cero.

El dominio es x ≥ 2.

49.7 Validar raíz en JavaScript

function raiz(x) {
  if (x < 2) {
    return "x debe ser mayor o igual que 2";
  }

  return Math.sqrt(x - 2);
}

console.log(raiz(6));
console.log(raiz(1));

49.8 Imagen de una función lineal

Una función lineal no constante, como f(x) = 2x + 1, puede producir cualquier valor real si su dominio son todos los reales.

49.9 Imagen de una función cuadrática simple

En la función f(x) = x², las salidas son siempre mayores o iguales que cero.

La imagen es y ≥ 0.

49.10 Dominio en contextos reales

A veces el dominio no lo impone la fórmula, sino el contexto del problema.

Matemáticamente se podría usar cualquier número, pero si cantidad representa productos comprados, el dominio debería ser números enteros mayores o iguales que cero.

49.11 Validar dominio contextual

function costo(cantidad) {
  if (!Number.isInteger(cantidad) || cantidad < 0) {
    return "Cantidad no válida";
  }

  return 500 * cantidad;
}

console.log(costo(3));
console.log(costo(-1));
console.log(costo(2.5));

49.12 Dominio e imagen en programación

En programación, pensar en dominio e imagen ayuda a diseñar funciones más seguras.

• El dominio indica qué entradas acepta la función.
• La imagen indica qué tipo de valores puede devolver.
• Las validaciones protegen contra entradas fuera del dominio.
• La documentación de una función debería dejar claro qué espera y qué devuelve.

49.13 Errores comunes

• Olvidar excluir valores que hacen cero un denominador.
• Calcular raíces cuadradas de números negativos en funciones reales.
• Confundir dominio con imagen.
• Ignorar restricciones del contexto.
• No validar entradas en funciones de programación.

49.14 Qué debes recordar de este tema

• El dominio es el conjunto de entradas permitidas.
• La imagen es el conjunto de salidas posibles.
• Las divisiones excluyen valores que hacen cero al denominador.
• Las raíces cuadradas reales exigen radicando mayor o igual que cero.
• El contexto puede restringir el dominio.
• En programación, validar entradas es aplicar la idea de dominio.

49.15 Conclusión

Dominio e imagen ayudan a entender qué puede recibir y devolver una función. Estos conceptos son esenciales tanto para analizar fórmulas como para diseñar funciones seguras en programación.

En el próximo tema veremos funciones lineales, una de las familias de funciones más importantes para modelar relaciones simples.