52. Funciones cuadráticas

Una función cuadrática contiene una variable elevada al cuadrado. Su gráfica es una parábola y aparece en trayectorias, áreas, optimización y modelos no lineales.

52.1 Introducción

Una función cuadrática tiene la forma general:

f(x) = ax² + bx + c

El coeficiente a debe ser distinto de cero. Si a = 0, la función deja de ser cuadrática.

52.2 Ejemplo básico

La función más simple es:

f(x) = x²

Algunos valores son:

f(-2) = 4
f(-1) = 1
f(0) = 0
f(1) = 1
f(2) = 4

52.3 Función cuadrática en JavaScript

function f(x) {
  return x ** 2;
}

console.log(f(-2));
console.log(f(0));
console.log(f(2));

52.4 Tabla de valores

Una tabla permite observar que los valores se repiten simétricamente alrededor del eje central.

x f(x) = x² Punto
-2 4 (-2, 4)
-1 1 (-1, 1)
0 0 (0, 0)
1 1 (1, 1)
2 4 (2, 4)

52.5 Parábola

La gráfica de una función cuadrática es una curva llamada parábola.

Si a > 0, la parábola abre hacia arriba.
Si a < 0, la parábola abre hacia abajo.

52.6 Coeficiente a

El coeficiente a controla la orientación y la apertura de la parábola.

Función Valor de a Comportamiento
f(x) = x² 1 Abre hacia arriba
f(x) = -x² -1 Abre hacia abajo
f(x) = 3x² 3 Más estrecha

52.7 Vértice

El vértice es el punto mínimo o máximo de la parábola.

Para f(x) = x², el vértice es (0, 0).

Si la parábola abre hacia arriba, el vértice es un mínimo. Si abre hacia abajo, es un máximo.

52.8 Eje de simetría

La parábola tiene un eje de simetría vertical que pasa por el vértice.

f(x) = x²
eje de simetría: x = 0

Los valores a la izquierda y derecha del eje se reflejan.

52.9 Raíces

Las raíces de una función cuadrática son los valores de x para los cuales f(x) = 0.

f(x) = x² - 4
x² - 4 = 0
(x - 2)(x + 2) = 0
x = 2 o x = -2

52.10 Calcular raíces con JavaScript

Para una función ax² + bx + c, el discriminante ayuda a saber cuántas raíces reales hay.

function raices(a, b, c) {
  const discriminante = b ** 2 - 4 * a * c;

  if (discriminante < 0) {
    return "No hay raíces reales";
  }

  const x1 = (-b + Math.sqrt(discriminante)) / (2 * a);
  const x2 = (-b - Math.sqrt(discriminante)) / (2 * a);

  return { x1, x2 };
}

console.log(raices(1, 0, -4));

52.11 Aplicación: trayectoria

Las funciones cuadráticas aparecen en trayectorias con aceleración, como el movimiento vertical de un objeto.

function altura(t) {
  return -5 * t ** 2 + 20 * t + 2;
}

for (let t = 0; t <= 4; t++) {
  console.log(t, altura(t));
}

La altura sube al principio y luego baja, formando una parábola.

52.12 Aplicación: optimización

Cuando una parábola abre hacia abajo, su vértice representa un valor máximo. Esto puede usarse para encontrar el mejor resultado de un modelo simple.

beneficio(x) = -x² + 10x

El valor máximo ocurre en el vértice.

52.13 Errores comunes

  • Creer que toda función con recta es cuadrática.
  • Olvidar que a no puede ser cero.
  • Confundir raíces con vértice.
  • Usar ^ en JavaScript en lugar de **.
  • No revisar si el discriminante es negativo antes de calcular raíces reales.
Una función cuadrática tiene término con x² y gráfica en forma de parábola.

52.14 Qué debes recordar de este tema

  • Una función cuadrática tiene forma f(x) = ax² + bx + c.
  • Su gráfica es una parábola.
  • Si a > 0, abre hacia arriba.
  • Si a < 0, abre hacia abajo.
  • El vértice es el punto máximo o mínimo.
  • Las raíces son los valores donde f(x) = 0.

52.15 Conclusión

Las funciones cuadráticas permiten modelar relaciones no lineales y fenómenos con curvatura. Son importantes en gráficos, movimiento, optimización y análisis de datos.

En el próximo tema veremos representación gráfica de funciones, donde conectaremos tablas, fórmulas y puntos en el plano.

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