55. Crecimiento y decrecimiento

Una función crece cuando sus salidas aumentan al aumentar la entrada, y decrece cuando sus salidas disminuyen. Esta idea permite interpretar tendencias y cambios.

55.1 Introducción

El crecimiento y decrecimiento describen cómo cambia una función cuando aumenta la variable independiente.

Si x aumenta y f(x) aumenta, la función crece.
Si x aumenta y f(x) disminuye, la función decrece.

Esta idea es fundamental para interpretar gráficos, datos y modelos.

55.2 Función creciente

Una función es creciente en un intervalo si al avanzar hacia la derecha, sus valores suben.

x: 0, 1, 2, 3
f(x): 1, 3, 5, 7

La salida aumenta a medida que aumenta x.

55.3 Función decreciente

Una función es decreciente en un intervalo si al avanzar hacia la derecha, sus valores bajan.

x: 0, 1, 2, 3
f(x): 10, 8, 6, 4

La salida disminuye a medida que aumenta x.

55.4 Función constante

Una función es constante si su salida no cambia.

x: 0, 1, 2, 3
f(x): 5, 5, 5, 5

Todos los valores de salida son iguales.

55.5 Detectar tendencia en JavaScript

function tendencia(valores) {
  let sube = true;
  let baja = true;

  for (let i = 1; i < valores.length; i++) {
    if (valores[i] <= valores[i - 1]) sube = false;
    if (valores[i] >= valores[i - 1]) baja = false;
  }

  if (sube) return "Creciente";
  if (baja) return "Decreciente";
  return "No estrictamente creciente ni decreciente";
}

console.log(tendencia([1, 3, 5, 7]));
console.log(tendencia([10, 8, 6, 4]));

55.6 Crecimiento en funciones lineales

En una función lineal o afín, la pendiente determina si crece o decrece.

Pendiente Comportamiento Ejemplo
m > 0 Creciente y = 2x + 1
m < 0 Decreciente y = -3x + 4
m = 0 Constante y = 5

55.7 Clasificar por pendiente

function clasificarPendiente(m) {
  if (m > 0) return "Creciente";
  if (m < 0) return "Decreciente";
  return "Constante";
}

console.log(clasificarPendiente(2));
console.log(clasificarPendiente(-3));
console.log(clasificarPendiente(0));

55.8 Crecimiento en funciones cuadráticas

Una función cuadrática puede crecer en un intervalo y decrecer en otro.

f(x) = x²
Decrece para x < 0
Crece para x > 0

El cambio ocurre en el vértice.

55.9 Ejemplo cuadrático con tabla

x f(x) = x² Comportamiento
-2 4 Baja hacia el vértice
-1 1 Baja
0 0 Mínimo
1 1 Sube
2 4 Sube

55.10 Crecimiento no es lo mismo que positivo

Una función puede crecer aunque sus valores sean negativos.

x: 0, 1, 2
f(x): -10, -5, -1

Los valores siguen siendo negativos, pero aumentan.

55.11 Decrecimiento no es lo mismo que negativo

Una función puede decrecer aunque sus valores sean positivos.

x: 0, 1, 2
f(x): 10, 6, 2

Los valores son positivos, pero disminuyen.

55.12 Aplicación en programación

Detectar crecimiento y decrecimiento ayuda a analizar métricas, rendimiento, ventas, temperatura, posiciones y datos de sensores.

function cambios(valores) {
  const resultado = [];

  for (let i = 1; i < valores.length; i++) {
    resultado.push(valores[i] - valores[i - 1]);
  }

  return resultado;
}

console.log(cambios([10, 12, 15, 14, 20]));

Los cambios positivos indican subida; los negativos indican bajada.

55.13 Errores comunes

  • Confundir crecimiento con valores positivos.
  • Confundir decrecimiento con valores negativos.
  • Mirar solo un punto y no el comportamiento en un intervalo.
  • No distinguir función constante de función creciente.
  • Ignorar que una función puede crecer en una parte y decrecer en otra.
Crecer significa aumentar al avanzar x, no necesariamente ser positivo.

55.14 Qué debes recordar de este tema

  • Una función crece si sus salidas aumentan cuando aumenta x.
  • Una función decrece si sus salidas disminuyen cuando aumenta x.
  • Una función constante mantiene la misma salida.
  • En rectas, la pendiente indica crecimiento o decrecimiento.
  • En funciones cuadráticas, el comportamiento puede cambiar en el vértice.
  • En programación, analizar cambios ayuda a detectar tendencias.

55.15 Conclusión

El crecimiento y decrecimiento permiten describir tendencias en funciones y datos. Esta idea es clave para interpretar gráficos, analizar métricas y detectar cambios en programas.

En el próximo tema veremos modelado matemático mediante funciones, donde usaremos funciones para representar problemas concretos.

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