6. Operaciones con expresiones algebraicas

6.1 Introducción

Las expresiones algebraicas pueden sumarse, restarse, multiplicarse, dividirse y simplificarse. Estas operaciones permiten transformar una expresión en otra equivalente.

En programación, esto es útil para reducir cálculos repetidos, mejorar la legibilidad del código y comprobar que una fórmula está bien escrita.

6.2 Expresiones equivalentes

Dos expresiones son equivalentes cuando producen el mismo resultado para los mismos valores de sus variables.

const x = 10;

const expresion1 = 3 * x + 2 * x;
const expresion2 = 5 * x;

console.log(expresion1);
console.log(expresion2);

Ambas expresiones dan el mismo resultado para cualquier valor de x.

6.3 Suma de expresiones algebraicas

Para sumar expresiones, se agrupan los términos semejantes y se suman sus coeficientes.

const x = 7;

const original = (2 * x + 3) + (4 * x + 5);
const simplificada = 6 * x + 8;

console.log(original);
console.log(simplificada);

6.4 Resta de expresiones algebraicas

Para restar expresiones, se distribuye el signo menos sobre todos los términos de la expresión que se resta.

const x = 6;

const original = (5 * x + 9) - (2 * x + 4);
const simplificada = 3 * x + 5;

console.log(original);
console.log(simplificada);

6.5 Multiplicación por un número

Cuando una expresión se multiplica por un número, ese número multiplica a cada término de la expresión.

const x = 8;

const original = 3 * (x + 4);
const desarrollada = 3 * x + 12;

console.log(original);
console.log(desarrollada);

Esta propiedad se llama propiedad distributiva.

6.6 Propiedad distributiva

La propiedad distributiva permite transformar una multiplicación sobre una suma o resta.

En programación aparece cuando una fórmula puede escribirse de varias formas equivalentes.

const precio = 100;
const cantidad = 5;
const impuesto = 0.21;

const total1 = precio * cantidad + precio * cantidad * impuesto;
const total2 = precio * cantidad * (1 + impuesto);

console.log(total1);
console.log(total2);

6.7 Multiplicación de expresiones simples

Cuando se multiplican expresiones, cada término de una expresión debe multiplicar a cada término de la otra.

const x = 4;

const original = (x + 2) * (x + 3);
const desarrollada = x ** 2 + 5 * x + 6;

console.log(original);
console.log(desarrollada);

6.8 División de expresiones simples

La división puede simplificarse cuando todos los términos tienen un factor común.

const x = 9;

const original = (6 * x + 12) / 6;
const simplificada = x + 2;

console.log(original);
console.log(simplificada);

La simplificación es válida porque tanto 6x como 12 son divisibles por 6.

6.9 Simplificación de expresiones

Simplificar una expresión significa escribirla de una forma más breve o más clara, manteniendo el mismo valor.

const x = 11;

const original = 4 * x + 7 - x + 3;
const simplificada = 3 * x + 10;

console.log(original);
console.log(simplificada);

6.10 Usar paréntesis correctamente

Los paréntesis son esenciales para expresar el orden correcto de las operaciones. Un paréntesis mal ubicado puede cambiar por completo el resultado.

const a = 10;
const b = 5;
const c = 3;

const resultado1 = (a + b) * c;
const resultado2 = a + b * c;

console.log(resultado1);
console.log(resultado2);

En (a + b) * c primero se suma. En a + b * c primero se multiplica.

6.11 Operaciones y legibilidad del código

A veces una expresión larga puede dividirse en pasos intermedios para que el programa sea más fácil de entender.

const precio = 1200;
const cantidad = 3;
const descuento = 15;

const subtotal = precio * cantidad;
const importeDescuento = subtotal * descuento / 100;
const total = subtotal - importeDescuento;

console.log(total);

La fórmula completa podría escribirse en una sola línea, pero separar el cálculo mejora la claridad.

6.12 Verificar expresiones con valores de prueba

Una forma simple de comprobar si dos expresiones son equivalentes es probarlas con varios valores.

function comparar(x) {
  const expresion1 = 2 * (x + 5);
  const expresion2 = 2 * x + 10;

  return expresion1 === expresion2;
}

console.log(comparar(1));
console.log(comparar(10));
console.log(comparar(-3));

Probar con varios valores no reemplaza una demostración algebraica, pero ayuda a detectar errores al programar.

6.13 Errores comunes

• No cambiar todos los signos al restar una expresión entre paréntesis.
• Sumar términos que no son semejantes.
• Olvidar distribuir un número sobre todos los términos.
• Eliminar paréntesis que eran necesarios para conservar el orden de cálculo.
• Confundir una expresión equivalente con una expresión que solo coincide para un valor particular.

6.14 Qué debes recordar de este tema

• Operar expresiones permite transformarlas sin cambiar su significado.
• Los términos semejantes se combinan sumando o restando coeficientes.
• Al restar una expresión, el signo menos afecta a todos sus términos.
• La propiedad distributiva permite desarrollar expresiones con paréntesis.
• La simplificación ayuda a escribir fórmulas y código más claros.
• Los paréntesis controlan el orden de las operaciones.

6.15 Conclusión

Las operaciones con expresiones algebraicas permiten simplificar fórmulas, comprobar equivalencias y escribir cálculos de forma más clara. Estas técnicas son útiles tanto en matemática como en programación.

En el próximo tema estudiaremos suma y resta de polinomios, un caso más organizado de operaciones con expresiones algebraicas.