Sumar y restar polinomios consiste en combinar términos semejantes. Esta operación permite simplificar modelos algebraicos y representar fórmulas de forma más clara en programación.
Un polinomio es una expresión algebraica formada por la suma o resta de varios términos. Cada término puede tener coeficiente, variable y exponente.
En este tema veremos cómo sumar y restar polinomios agrupando términos semejantes. Esta técnica aparece en simplificación de fórmulas, gráficos, simulaciones y modelos matemáticos.
Un polinomio es una expresión como la siguiente:
Este polinomio tiene tres términos:
El grado de un polinomio es el mayor exponente de la variable.
| Polinomio | Mayor exponente | Grado |
|---|---|---|
| 4x + 9 | 1 | 1 |
| 2x² - 3x + 1 | 2 | 2 |
| x³ + 5x - 8 | 3 | 3 |
| 12 | 0 | 0 |
Para sumar o restar polinomios solo se combinan términos semejantes. Dos términos son semejantes cuando tienen la misma variable con el mismo exponente.
Los coeficientes pueden ser distintos; lo importante es que la parte variable coincida.
Para sumar polinomios, se escriben todos los términos y luego se agrupan los semejantes.
Podemos comprobar la equivalencia evaluando el polinomio original y el polinomio simplificado para un valor de x.
const x = 3;
const original = (2 * x ** 2 + 3 * x + 4) + (5 * x ** 2 + x + 7);
const simplificado = 7 * x ** 2 + 4 * x + 11;
console.log(original);
console.log(simplificado);Para restar polinomios, se debe cambiar el signo de todos los términos del polinomio que se resta.
El signo menos delante del paréntesis afecta a cada término.
const x = 4;
const original = (6 * x ** 2 + 5 * x + 9) - (2 * x ** 2 + 3 * x + 4);
const simplificado = 4 * x ** 2 + 2 * x + 5;
console.log(original);
console.log(simplificado);Si ambos resultados coinciden para distintos valores de x, es una señal de que la simplificación fue bien escrita.
Es común escribir los polinomios ordenados de mayor a menor exponente. Esto facilita identificar términos semejantes.
El orden no cambia el valor del polinomio, pero mejora su lectura.
A veces un polinomio no tiene todos los grados. Podemos imaginar que los términos faltantes tienen coeficiente cero.
Este recurso ayuda a ordenar las operaciones con claridad.
En programación, un polinomio puede representarse como una función que recibe x y devuelve el valor del polinomio.
function p(x) {
return 2 * x ** 2 + 3 * x + 4;
}
function q(x) {
return 5 * x ** 2 + x + 7;
}
function suma(x) {
return p(x) + q(x);
}
console.log(suma(2));Esta forma es útil cuando queremos evaluar el mismo polinomio con muchos valores.
Los polinomios pueden usarse para generar curvas. Si evaluamos un polinomio para muchos valores de x, obtenemos puntos que pueden graficarse.
function polinomio(x) {
return x ** 2 - 2 * x + 1;
}
for (let x = -2; x <= 2; x++) {
console.log(x, polinomio(x));
}Cada par de valores representa un punto de la curva.
La suma y resta de polinomios se basa en combinar términos semejantes. Aunque la regla es simple, requiere cuidado con los signos, los exponentes y los términos faltantes.
En el próximo tema veremos multiplicación de polinomios, donde aplicaremos la propiedad distributiva para combinar todos los términos.