Dividir polinomios permite descomponer una expresión en un cociente y, a veces, un resto. Esta operación es útil para simplificar fórmulas, analizar factores y verificar equivalencias.
La división de polinomios es una extensión de la división entre números. En lugar de dividir cantidades simples, dividimos expresiones formadas por términos.
El resultado de una división puede escribirse como un cociente y, si la división no es exacta, un resto.
En una división de polinomios aparecen los mismos elementos que en una división numérica.
| Elemento | Significado | Ejemplo |
|---|---|---|
| Dividendo | Polinomio que se divide | 6x² + 9x |
| Divisor | Polinomio por el que se divide | 3x |
| Cociente | Resultado principal de la división | 2x + 3 |
| Resto | Parte que no se pudo dividir exactamente | 0 si la división es exacta |
Una división es exacta cuando el resto es cero.
Podemos comprobarlo multiplicando el divisor por el cociente:
Para dividir monomios, se dividen los coeficientes y se restan los exponentes de la misma variable.
Esto ocurre porque x⁵ / x² = x³.
const x = 2;
const original = 12 * x ** 5 / (3 * x ** 2);
const simplificado = 4 * x ** 3;
console.log(original);
console.log(simplificado);Cuando un polinomio se divide por un monomio, cada término del polinomio se divide por ese monomio.
const x = 5;
const original = (8 * x ** 3 + 4 * x ** 2 - 12 * x) / (4 * x);
const simplificado = 2 * x ** 2 + x - 3;
console.log(original);
console.log(simplificado);Cuando el divisor tiene más de un término, se puede usar un procedimiento parecido a la división larga de números.
Ejemplo:
Buscamos un polinomio que multiplicado por x + 2 dé x² + 5x + 6. En este caso:
Una división de polinomios se verifica multiplicando el divisor por el cociente y sumando el resto.
const x = 4;
const dividendo = x ** 2 + 5 * x + 6;
const divisor = x + 2;
const cociente = x + 3;
const resto = 0;
console.log(dividendo);
console.log(divisor * cociente + resto);No todas las divisiones son exactas. Si queda una parte sin dividir, aparece un resto.
La verificación es:
const x = 3;
const dividendo = x ** 2 + 4 * x + 5;
const divisor = x + 2;
const cociente = x + 2;
const resto = 1;
const verificacion = divisor * cociente + resto;
console.log(dividendo);
console.log(verificacion);Si la verificación coincide con el dividendo, el cociente y el resto son correctos.
Cuando el divisor tiene la forma x - a o x + a, muchas veces conviene buscar un factor conocido.
Esta idea se relaciona con la factorización, que veremos más adelante.
En programación, una fórmula algebraica simplificada puede reducir operaciones y hacer más claro el código.
const precio = 100;
const impuesto = 21;
const cantidad = 5;
const original = (precio * cantidad + impuesto * cantidad) / cantidad;
const simplificado = precio + impuesto;
console.log(original);
console.log(simplificado);En una división, el divisor no puede ser cero. Esto también importa en álgebra y en programación.
La expresión no está definida cuando x = 2, porque el divisor sería cero.
const x = 2;
const divisor = x - 2;
if (divisor !== 0) {
console.log((x ** 2 - 4) / divisor);
} else {
console.log("No se puede dividir por cero");
}La división de polinomios permite simplificar expresiones, encontrar cocientes y analizar restos. También exige cuidado con las restricciones, especialmente cuando el divisor puede valer cero.
En el próximo tema veremos productos notables, fórmulas frecuentes que permiten multiplicar expresiones más rápido y reconocer patrones algebraicos.