Combinatoria - 18. Diferencias entre permutaciones, variaciones y combinaciones

18.1 Introducción

Permutaciones, variaciones y combinaciones resuelven problemas relacionados, pero no representan la misma situación. La diferencia está en cómo se seleccionan y organizan los elementos.

Antes de elegir una fórmula debemos traducir el enunciado a tres características: cuántos elementos hay, cuántas posiciones o selecciones se necesitan y qué efecto tienen el orden y la repetición.

18.2 Las tres preguntas fundamentales

¿Se utilizan todos los elementos? Si la respuesta es sí, podemos estar ante una permutación.
¿El orden importa? Si cambiar las posiciones cambia el resultado, estamos ordenando.
¿Se permite repetir? Esta condición define si las opciones disminuyen o se mantienen.

Responder estas preguntas evita aplicar una fórmula de manera mecánica.

18.3 Tabla comparativa

Método	Elementos usados	Orden	Repetición	Fórmula
Permutación simple	Todos	Importa	No	n!
Permutación con repetición	Todos	Importa	Hay iguales	n! / (n₁! × ...)
Variación sin repetición	k de n	Importa	No	n! / (n - k)!
Variación con repetición	k de n	Importa	Sí	n^k
Combinación sin repetición	k de n	No importa	No	n! / (k!(n-k)!)
Combinación con repetición	k de n	No importa	Sí	C(n+k-1,k)

18.4 Simulación: elegir el método

Indica las condiciones del problema y el asistente sugerirá el método de conteo correspondiente.

18.5 Ejemplo: ordenar todos

Si tenemos 4 tareas distintas y queremos ordenarlas todas, el orden importa, no hay repetición y se utilizan todos los elementos.

Método: permutación simple
Total = 4! = 24

18.6 Ejemplo: ocupar algunos puestos

De 6 personas queremos asignar 3 cargos diferentes. El orden importa, no se repiten personas y solo se utilizan 3 de las 6.

Método: variación sin repetición
Total = V(6, 3) = 6 × 5 × 4 = 120

18.7 Ejemplo: formar un equipo

De 6 personas queremos formar un equipo de 3. El orden no importa y no se repiten integrantes.

Método: combinación sin repetición
Total = C(6, 3) = 20

El equipo formado por Ana, Luis y Marta es el mismo sin importar cómo se los enumere.

18.8 Ejemplo: crear códigos

Con 4 símbolos disponibles queremos construir códigos de 3 posiciones y se permite repetir.

Método: variación con repetición
Total = VR(4, 3) = 4³ = 64

Los códigos AAA y ABA son válidos si cada posición puede reutilizar cualquiera de los símbolos.

18.9 Un ejemplo en JavaScript

Podemos clasificar un problema según sus condiciones y devolver una recomendación.

function elegirMetodo(n, k, importaOrden, permiteRepetir) {
  if (importaOrden && permiteRepetir) return "Variación con repetición";
  if (importaOrden && k === n) return "Permutación simple";
  if (importaOrden) return "Variación sin repetición";
  if (permiteRepetir) return "Combinación con repetición";
  return "Combinación sin repetición";
}

console.log(elegirMetodo(6, 3, false, false));
console.log(elegirMetodo(4, 2, true, true));

La condición k = n distingue la permutación simple de una variación sin repetición.

18.10 Relación entre las fórmulas

Las fórmulas están conectadas:

Permutación simple = V(n, n) = n!
V(n, k) = C(n, k) × k!
C(n, k) = V(n, k) / k!
VR(n, k) = n^k

Una combinación puede convertirse en una variación al ordenar sus k elementos. Luego, dividir por k! elimina las formas de ordenamiento equivalentes.

18.11 Cómo reconocer palabras clave

PermutaciónOrdenar todos, organizar, disponer todos.

VariaciónAsignar puestos, formar códigos, ocupar posiciones.

CombinaciónElegir equipos, seleccionar grupos, formar subconjuntos.

RepeticiónSe puede volver a usar, tipos iguales, símbolos reutilizables.

Estas palabras orientan, pero siempre hay que confirmar las condiciones exactas del problema.

18.12 Errores frecuentes

Aplicar una combinación cuando el orden distingue las soluciones.
Aplicar una permutación cuando solo se seleccionan algunos elementos.
Permitir repeticiones que el enunciado prohíbe.
Prohibir repeticiones cuando el problema las permite.
Olvidar que una permutación simple utiliza todos los elementos.
No identificar si dos selecciones son iguales por cambiar el orden.

18.13 Aplicaciones en informática

Elegir algoritmos de generación de casos.
Calcular el tamaño de espacios de búsqueda.
Diseñar pruebas con orden o sin orden.
Analizar códigos, equipos, asignaciones y secuencias.
Evitar duplicados al generar subconjuntos.
Modelar restricciones de repetición en datos.

18.14 Qué debes recordar de este tema

Primero se decide si el orden importa.
Luego se verifica si se utilizan todos los elementos.
Finalmente se determina si se permite repetir.
Permutaciones: ordenan todos los elementos.
Variaciones: ordenan una parte de los elementos.
Combinaciones: seleccionan una parte sin importar el orden.
Las versiones con repetición permiten reutilizar elementos.

18.15 Conclusión

La elección entre permutaciones, variaciones y combinaciones depende de interpretar correctamente el problema. Las tres preguntas fundamentales —elementos utilizados, importancia del orden y repetición— permiten seleccionar el modelo adecuado.

En el próximo tema estudiaremos los coeficientes binomiales, que proporcionan una notación y propiedades muy útiles para las combinaciones.

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18. Diferencias entre permutaciones, variaciones y combinaciones