20. Triángulo de Pascal

20.1 Introducción

El triángulo de Pascal es una disposición triangular de números en la que cada fila comienza y termina en 1. Cada valor interior se obtiene sumando los dos valores que están inmediatamente encima.

Además de ser una forma práctica de calcular coeficientes binomiales, el triángulo contiene información sobre subconjuntos, potencias de binomios, sucesiones y patrones numéricos.

20.2 Construcción del triángulo

Las primeras filas, comenzando desde la fila 0, son:

La fila n contiene n + 1 valores y coincide con los coeficientes C(n,0), C(n,1), ..., C(n,n).

20.3 Regla de construcción

Los extremos de cada fila valen 1. Para cualquier posición interior se utiliza:

Esta es la identidad de Pascal aplicada a los coeficientes binomiales.

20.4 Simulación interactiva

Indica hasta qué fila quieres construir el triángulo y, opcionalmente, una posición para destacarla.

20.5 Coeficientes binomiales en las filas

La fila 5 contiene:

Por simetría, la fila se lee igual de izquierda a derecha que de derecha a izquierda.

20.6 Un ejemplo en JavaScript

Podemos construir una fila utilizando la suma de los valores de la fila anterior.

function siguienteFila(filaAnterior) {
  const nuevaFila = [1];
  for (let indice = 0; indice < filaAnterior.length - 1; indice += 1) {
    nuevaFila.push(filaAnterior[indice] + filaAnterior[indice + 1]);
  }
  nuevaFila.push(1);
  return nuevaFila;
}

let fila = [1];
for (let numero = 0; numero < 5; numero += 1) {
  console.log(fila);
  fila = siguienteFila(fila);
}

La función recibe una fila y produce la siguiente sin calcular factoriales.

20.7 Algoritmo completo

El triángulo completo puede almacenarse como una lista de filas.

function construirPascal(cantidadFilas) {
  const triangulo = [];

  for (let fila = 0; fila < cantidadFilas; fila += 1) {
    const valores = [1];
    for (let posicion = 1; posicion < fila; posicion += 1) {
      valores.push(
        triangulo[fila - 1][posicion - 1] + triangulo[fila - 1][posicion]
      );
    }
    if (fila > 0) valores.push(1);
    triangulo.push(valores);
  }
  return triangulo;
}

console.log(construirPascal(5));

20.8 Suma de cada fila

La suma de los números de la fila n es 2ⁿ:

Combinatoriamente, la suma cuenta todos los subconjuntos de un conjunto de n elementos.

20.9 Sumas alternadas

Si sumamos los valores de una fila alternando signos, obtenemos cero para filas mayores que cero:

Este patrón se relaciona con evaluar una potencia de binomio cuando sus términos tienen signos opuestos.

20.10 Diagonales y sucesiones

Además de las filas, las diagonales contienen sucesiones conocidas:

• Primera diagonal: todos 1.
• Segunda diagonal: números naturales.
• Tercera diagonal: números triangulares.
• Otras diagonales: sucesiones polinómicas y combinatorias.

Observar estas diagonales ayuda a descubrir relaciones entre problemas de conteo.

20.11 Relación con el teorema del binomio

Los valores de la fila n son los coeficientes que aparecen al desarrollar:

Por ejemplo, la fila 3, 1 3 3 1, produce:

20.12 Aplicaciones en informática

• Calcular coeficientes binomiales.
• Construir estructuras para programación dinámica.
• Contar subconjuntos por tamaño.
• Analizar expresiones y desarrollos algebraicos.
• Estudiar patrones numéricos y sucesiones.
• Validar algoritmos de conteo mediante filas conocidas.

20.13 Errores frecuentes

• Comenzar las filas desde 1 y perder la correspondencia con C(n,k).
• Olvidar que una fila n tiene n + 1 valores.
• Sumar valores de filas diferentes al aplicar la identidad de Pascal.
• Confundir una fila con una columna o diagonal.
• Usar el triángulo sin considerar que sus valores representan coeficientes binomiales.

20.14 Qué debes recordar de este tema

• El triángulo comienza con la fila 0: 1.
• Cada fila empieza y termina en 1.
• Cada valor interior es la suma de los dos valores superiores.
• La fila n contiene los coeficientes C(n,k).
• La suma de la fila n es 2ⁿ.
• Las filas se utilizan en el desarrollo de potencias de binomios.

20.15 Conclusión

El triángulo de Pascal es una estructura sencilla que concentra numerosas propiedades combinatorias. Sus filas permiten calcular coeficientes binomiales y sus patrones conectan conteo, álgebra y algoritmos.

En el próximo tema estudiaremos con mayor profundidad las propiedades de los coeficientes binomiales.