22. Teorema del binomio

22.1 Introducción

Elevar una suma a una potencia implica multiplicar varios factores iguales. El teorema del binomio organiza ese desarrollo y permite obtener cada término sin realizar todas las multiplicaciones manualmente.

Los coeficientes que aparecen delante de los términos son los números del triángulo de Pascal y representan cantidades de elecciones combinatorias.

22.2 Enunciado del teorema

Para un entero no negativo n:

Escrito de forma desarrollada:

22.3 Ejemplos iniciales

Para n = 2, la fila correspondiente es 1, 2, 1:

Para n = 3, la fila es 1, 3, 3, 1:

22.4 Simulación: generar un desarrollo

Indica el exponente y los nombres de los dos términos del binomio. La simulación genera los coeficientes y los exponentes de cada término.

22.5 Interpretación combinatoria

Al desarrollar (a+b)ⁿ, cada uno de los n factores aporta a o b. Para formar el término a^n-kb^k, debemos elegir en cuáles k factores aparece b.

Por eso el coeficiente de cada término es exactamente un coeficiente binomial.

22.6 Ejemplo de interpretación

En (a+b)⁴, el término a²b² aparece cuando elegimos b en 2 de los 4 factores.

Existen 6 formas de elegir las dos posiciones que aportan b.

22.7 Un ejemplo en JavaScript

El siguiente código construye los términos usando los coeficientes binomiales y los exponentes correspondientes.

function binomial(n, k) {
  if (k < 0 || k > n) return 0;
  k = Math.min(k, n - k);
  let valor = 1;
  for (let indice = 1; indice <= k; indice += 1) {
    valor = valor * (n - indice + 1) / indice;
  }
  return valor;
}

const n = 3;
const terminos = [];
for (let k = 0; k <= n; k += 1) {
  terminos.push(`${binomial(n, k)}a^${n - k}b^${k}`);
}

console.log(terminos.join(" + "));

22.8 Signos negativos

El teorema también se aplica cuando el segundo término es negativo:

Los signos alternan porque (-b)^k es positivo cuando k es par y negativo cuando k es impar.

22.9 Ejemplo con resta

Los coeficientes siguen siendo 1, 3, 3 y 1; lo que cambia es el signo de los términos con potencia impar de b.

22.10 Suma de coeficientes

Si hacemos a = 1 y b = 1, obtenemos:

Si hacemos a = 1 y b = -1, obtenemos:

22.11 Término general

El término que contiene b^k en el desarrollo de (a+b)ⁿ es:

Esta expresión permite encontrar un término específico sin desarrollar toda la potencia.

22.12 Aplicaciones en informática

• Calcular coeficientes mediante una estructura conocida.
• Modelar elecciones binarias repetidas.
• Analizar probabilidades de éxitos y fracasos.
• Construir algoritmos de expansión simbólica.
• Verificar identidades y patrones algebraicos.
• Relacionar expresiones algebraicas con problemas de conteo.

22.13 Errores frecuentes

• Usar C(n,k) con exponentes incorrectos.
• Olvidar que los exponentes de a y b suman n.
• Desplazar mal los signos en una resta.
• Confundir el coeficiente con el término completo.
• Calcular todos los términos cuando solo se necesita uno.

22.14 Qué debes recordar de este tema

• (a+b)ⁿ se desarrolla usando C(n,k).
• El término general es C(n,k)a^n-kb^k.
• Los exponentes de cada término suman n.
• Los coeficientes de la expansión forman una fila del triángulo de Pascal.
• Con un término negativo, los signos alternan.
• El teorema conecta álgebra, combinatoria y programación.

22.15 Conclusión

El teorema del binomio permite desarrollar potencias de sumas mediante coeficientes binomiales. Cada coeficiente representa las formas de elegir qué factores aportan el segundo término.

En el próximo tema estudiaremos con más detalle el desarrollo de potencias de binomios y la obtención de términos específicos.