23. Desarrollo de potencias de binomios

23.1 Introducción

En el tema anterior presentamos el teorema del binomio. Ahora practicaremos un procedimiento ordenado para desarrollar potencias, identificar términos y evaluar expresiones.

La idea central es separar el problema en tres partes: hallar el coeficiente, calcular las potencias de cada término y combinar los factores.

23.2 Procedimiento general

Para desarrollar (a+b)ⁿ:

1. Escribir la fórmula del término general.
2. Obtener la fila n del triángulo de Pascal o los coeficientes C(n,k).
3. Disminuir el exponente de a desde n hasta 0.
4. Aumentar el exponente de b desde 0 hasta n.
5. Multiplicar cada coeficiente por sus potencias.

23.3 Desarrollo de un binomio al cuadrado

Para n = 2, los coeficientes son 1, 2 y 1:

Los exponentes de a y b en cada término siempre suman 2.

23.4 Desarrollo de un binomio al cubo

Para n = 3, utilizamos la fila 1, 3, 3, 1:

El primer término tiene toda la potencia en a; el último, toda la potencia en b.

23.5 Simulación de una potencia

Indica el exponente y los valores numéricos de a y b. La simulación muestra todos los términos y calcula el valor de la potencia.

23.6 Ejemplo numérico

Consideremos:

El resultado coincide con 5³ = 125. El desarrollo permite observar cómo se distribuye el valor entre sus términos.

23.7 Un ejemplo en JavaScript

Podemos calcular el valor del desarrollo sumando sus términos.

function binomial(n, k) {
  k = Math.min(k, n - k);
  let valor = 1;
  for (let indice = 1; indice <= k; indice += 1) {
    valor = valor * (n - indice + 1) / indice;
  }
  return valor;
}

const a = 2;
const b = 3;
const n = 3;
let suma = 0;

for (let k = 0; k <= n; k += 1) {
  suma += binomial(n, k) * a ** (n - k) * b ** k;
}

console.log(suma);

23.8 Encontrar un término específico

Para encontrar el término que contiene b^k, usamos:

Por ejemplo, el término con b² en (a+b)⁵ es:

23.9 Posición de un término

Si numeramos los términos desde 1, el término que contiene b^k ocupa la posición k+1.

Esta diferencia entre el índice k y la posición humana del término es una fuente habitual de errores.

23.10 Potencias de una resta

Para una resta, sustituimos b por -b:

Los términos con exponentes pares de b conservan signo positivo y los de exponentes impares quedan negativos.

23.11 Comprobaciones útiles

• El desarrollo debe tener n+1 términos.
• Los coeficientes deben formar la fila n del triángulo de Pascal.
• Los exponentes de a y b deben sumar n.
• La suma de los coeficientes debe ser 2ⁿ.
• Al evaluar a y b, el resultado debe coincidir con (a+b)ⁿ.

23.12 Aplicaciones en informática

• Implementar expansiones simbólicas.
• Calcular términos sin expandir toda la expresión.
• Evaluar probabilidades y distribuciones discretas.
• Construir algoritmos basados en coeficientes binomiales.
• Verificar expresiones mediante evaluación numérica.
• Relacionar cálculos algebraicos con procesos combinatorios.

23.13 Errores frecuentes

• Usar la fila equivocada del triángulo de Pascal.
• Invertir los exponentes de a y b.
• Confundir la posición de un término con su índice k.
• Olvidar los signos alternados en una resta.
• No comprobar el resultado con la potencia original.

23.14 Qué debes recordar de este tema

• El desarrollo de (a+b)ⁿ tiene n+1 términos.
• Los coeficientes son C(n,k).
• El término general es C(n,k)a^n-kb^k.
• Los exponentes de cada término suman n.
• El término que contiene b^k ocupa la posición k+1.
• Una evaluación numérica permite verificar el desarrollo.

23.15 Conclusión

Desarrollar potencias de binomios consiste en combinar coeficientes binomiales con potencias complementarias de los dos términos. El procedimiento permite obtener la expresión completa o solo el término que sea necesario.

En el próximo tema estudiaremos identidades combinatorias y veremos cómo demostrar relaciones entre coeficientes y conteos.