Los principios de la suma y del producto permiten contar posibilidades organizando un problema en alternativas excluyentes o en etapas sucesivas.
Los principios básicos de conteo son reglas que permiten determinar cuántos resultados puede tener una situación sin enumerarlos todos. Constituyen la base para estudiar factoriales, permutaciones, variaciones, combinaciones y muchos algoritmos.
La pregunta más importante no es qué fórmula memorizar, sino cómo está organizado el problema. Si hay alternativas que no ocurren al mismo tiempo, sumamos. Si hay decisiones consecutivas, multiplicamos.
Si una tarea puede realizarse mediante una opción de un primer grupo o mediante una opción de un segundo grupo, y los grupos no se superponen, el número total de posibilidades es la suma de las cantidades.
La palabra o suele indicar que debemos analizar el principio de la suma. Es importante que las alternativas sean excluyentes; si un mismo caso aparece en ambos grupos, se estaría contando dos veces.
La siguiente simulación representa dos caminos alternativos para realizar una tarea. Puedes cambiar la cantidad de opciones de cada camino y observar el total.
Si el camino A tiene 3 posibilidades y el camino B tiene 2, el resultado es 3 + 2 = 5. Cada caso pertenece a un solo camino, por lo que no hay duplicación.
Si una tarea se realiza en varias etapas sucesivas y cada etapa tiene una cantidad determinada de opciones, el número total de resultados se obtiene multiplicando las opciones de todas las etapas.
La palabra y suele indicar que deben combinarse etapas: elegir una opción de la primera etapa y una de la segunda, y así sucesivamente.
En esta simulación cada configuración se forma eligiendo una opción de cada etapa. El programa calcula el producto y muestra las configuraciones cuando la cantidad total es pequeña.
Supongamos que una configuración tiene tres partes:
Como debemos elegir una opción de cada grupo, el total es:
No es necesario listar las 12 configuraciones para conocer su cantidad. La estructura por etapas contiene toda la información necesaria.
El siguiente ejemplo calcula la cantidad de opciones disponibles cuando una acción puede realizarse mediante dos grupos alternativos.
const opcionesMenu = 4;
const opcionesAccesoRapido = 3;
const totalOpciones = opcionesMenu + opcionesAccesoRapido;
console.log(`Opciones totales: ${totalOpciones}`);El resultado es 7 siempre que las opciones del menú y las de acceso rápido representen casos diferentes.
Ahora calculamos cuántas configuraciones se pueden formar al elegir un elemento de cada grupo.
const colores = ["rojo", "azul", "verde"];
const tamaños = ["pequeño", "grande"];
const totalConfiguraciones = colores.length * tamaños.length;
console.log(`Configuraciones: ${totalConfiguraciones}`);Hay 3 colores y 2 tamaños. Por lo tanto, existen 3 × 2 = 6 configuraciones posibles.
Aunque la combinatoria busca evitar la enumeración completa, enumerar unos pocos casos puede servir para verificar una fórmula. Este ejemplo construye todas las combinaciones entre dos grupos.
const formas = ["A", "B", "C"];
const colores = ["claro", "oscuro"];
const configuraciones = [];
for (const forma of formas) {
for (const color of colores) {
configuraciones.push(`${forma}-${color}`);
}
}
console.log(configuraciones);
console.log(`Total: ${configuraciones.length}`);El doble recorrido produce 3 × 2 = 6 casos. Para cantidades grandes, conviene conservar el cálculo por producto y no construir una lista que podría ocupar mucha memoria.
Un problema puede tener alternativas y etapas al mismo tiempo. En ese caso, primero se multiplica dentro de cada alternativa y luego se suman los resultados.
Supongamos que una tarea puede realizarse por dos métodos:
La expresión completa es:
La clave consiste en separar claramente las alternativas antes de multiplicar sus etapas internas.
| Error | Qué ocurre | Cómo evitarlo |
|---|---|---|
| Sumar etapas sucesivas | Se cuentan alternativas cuando en realidad hay que elegir todas las etapas. | Usar el producto cuando aparece una secuencia de decisiones. |
| Multiplicar alternativas | Se combinan caminos que no ocurren juntos. | Usar la suma cuando las opciones son excluyentes. |
| Contar un caso dos veces | Las alternativas tienen elementos compartidos. | Revisar si los grupos son disjuntos antes de sumar. |
| Ignorar restricciones | El cálculo incluye configuraciones que no son válidas. | Describir primero las condiciones del problema. |
Los principios de la suma y del producto permiten convertir una situación compleja en partes sencillas de contar. La suma organiza caminos alternativos y el producto combina decisiones que deben tomarse en etapas sucesivas.
En el próximo tema estudiaremos con más detalle el principio de la suma y sus condiciones de aplicación.