1. Combinatoria y probabilidad
Cuando todos los resultados de un experimento son igualmente probables, la probabilidad de un evento se obtiene mediante un cociente:
P(A) = casos favorables / casos posibles
La combinatoria permite contar ambos conjuntos sin enumerar manualmente cada resultado.
2. Espacio muestral
El espacio muestral es el conjunto de resultados posibles. Al lanzar una moneda dos veces, el espacio contiene:
{CC, CX, XC, XX}
Si cada lanzamiento tiene dos resultados independientes, hay 22 = 4 resultados posibles.
3. Regla del producto en experimentos
Si un experimento tiene varias etapas independientes, se multiplican las cantidades de opciones de cada etapa. Un código de cuatro posiciones con diez símbolos por posición tiene 104 posibilidades.
Si las etapas no son independientes, la cantidad de opciones de una etapa puede depender de las decisiones anteriores.
4. Regla de la suma
Cuando los casos favorables se separan en alternativas que no se superponen, se suman sus cantidades. Por ejemplo, al lanzar un dado, obtener 1 o 6 tiene 2 resultados favorables de 6.
Si los eventos se superponen, hay que aplicar inclusión y exclusión para no contar dos veces los mismos resultados.
5. Combinaciones en selecciones
Al elegir k objetos entre n sin importar el orden, se utiliza el coeficiente binomial:
C(n, k) = n! / (k!(n - k)!)
Por ejemplo, al elegir 2 cartas entre 10, hay C(10, 2) = 45 manos posibles.
6. Permutaciones en resultados ordenados
Si el orden importa, las selecciones se cuentan mediante permutaciones o variaciones. En una carrera con n participantes, las formas de asignar los tres primeros puestos son:
n(n - 1)(n - 2)
La probabilidad de un orden concreto se obtiene dividiendo 1 entre esa cantidad, si todos los órdenes son igualmente posibles.
7. Ejemplo: exactamente k éxitos
En n ensayos independientes con probabilidad p de éxito, la cantidad de secuencias con exactamente k éxitos es C(n, k). La probabilidad de cada secuencia concreta es pk(1 - p)n-k.
P(X = k) = C(n, k) pk(1 - p)n-k
8. Implementación del coeficiente binomial
Una función para calcular combinaciones permite construir probabilidades de eventos discretos.
function combinaciones(n, k) {
if (k < 0 || k > n) return 0;
k = Math.min(k, n - k);
let resultado = 1;
for (let i = 1; i <= k; i++) {
resultado = resultado * (n - k + i) / i;
}
return Math.round(resultado);
}
console.log(combinaciones(10, 3)); // 1209. Probabilidad de una selección
Si una urna contiene 5 elementos favorables y 7 no favorables, la probabilidad de elegir un elemento favorable es 5/12. Si se eligen varios elementos sin reemplazo, el conteo debe considerar que la composición cambia.
Cuando solo importa qué elementos fueron elegidos, se usan combinaciones; cuando importa el orden de extracción, se usan variaciones o permutaciones.
10. Probabilidad condicional
La probabilidad condicional estudia un evento cuando ya se conoce que ocurrió otro:
P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B)
En conteos, el denominador pasa a ser la cantidad de resultados compatibles con B y el numerador la cantidad compatible simultáneamente con A y B.
11. Inclusión y exclusión
Si dos eventos pueden ocurrir al mismo tiempo:
|A ∪ B| = |A| + |B| - |A ∩ B|
La versión probabilística conserva la misma estructura. Restar la intersección evita contar dos veces los resultados que pertenecen a ambos eventos.
12. Simulación de un experimento
Una simulación genera resultados aleatorios y calcula la frecuencia observada de un evento. Al aumentar la cantidad de repeticiones, la frecuencia suele aproximarse a la probabilidad teórica.
function simularDado(repeticiones) {
let favorables = 0;
for (let i = 0; i < repeticiones; i++) {
const resultado = 1 + Math.floor(Math.random() * 6);
if (resultado === 6) favorables++;
}
return favorables / repeticiones;
}
console.log(simularDado(10000));13. Probabilidad teórica y experimental
La probabilidad teórica se calcula con un modelo matemático. La probabilidad experimental se obtiene repitiendo el experimento y dividiendo los casos favorables por la cantidad de pruebas.
14. Simulación: obtener exactamente dos éxitos
Elige la cantidad de ensayos, la probabilidad de éxito y el número exacto de éxitos buscado. Se comparará el valor teórico con una simulación.
| Concepto | Valor |
|---|
15. Aplicaciones en informática
La combinatoria y la probabilidad aparecen en pruebas aleatorias, análisis de algoritmos, generación de datos, seguridad, simulación de redes y estimación de resultados.
Contar correctamente el espacio muestral es el primer paso para construir un modelo probabilístico confiable.
16. Resumen
La combinatoria permite calcular probabilidades contando casos posibles y favorables. Las combinaciones modelan selecciones, las permutaciones modelan resultados ordenados y la inclusión-exclusión resuelve superposiciones. Las simulaciones permiten comparar predicciones teóricas con frecuencias observadas.