6. Principio de inclusión y exclusión

6.1 Introducción

En el tema 4 vimos que el principio de la suma funciona directamente cuando los grupos son excluyentes. Pero en muchos problemas un mismo elemento puede pertenecer a dos grupos al mismo tiempo.

Si sumamos las cantidades de los grupos sin corregir esa superposición, los elementos compartidos se cuentan dos veces. El principio de inclusión y exclusión resuelve este problema.

6.2 Unión e intersección

Para estudiar grupos superpuestos utilizamos dos operaciones de conjuntos:

• Unión: contiene los elementos que pertenecen al primer grupo, al segundo grupo o a ambos.
• Intersección: contiene únicamente los elementos que pertenecen a los dos grupos.

Cuando queremos contar los elementos de la unión, debemos incluir todos los elementos de A y de B, pero excluir la repetición de los elementos de la intersección.

6.3 Fórmula para dos conjuntos

Para dos conjuntos finitos, la cantidad de elementos de la unión se calcula con la fórmula:

Primero incluimos todos los elementos de A y todos los elementos de B. Después restamos los elementos compartidos, porque fueron incluidos una vez al contar A y otra vez al contar B.

6.4 Ejemplo con dos grupos

En una plataforma, 12 personas utilizan una herramienta de análisis y 9 utilizan una herramienta de visualización. De ellas, 4 utilizan ambas herramientas.

La respuesta no es 21 porque las 4 personas que utilizan ambas herramientas fueron contadas dos veces.

6.5 Simulación: visualizar la superposición

Modifica los tamaños de los grupos y la cantidad de elementos compartidos. La simulación muestra cómo la intersección modifica el total de la unión.

6.6 Verificar las condiciones de los datos

La intersección nunca puede tener más elementos que A ni más elementos que B. Por eso, antes de aplicar la fórmula, debemos comprobar:

Si la intersección es 0, los grupos son excluyentes y la fórmula se reduce al principio de la suma:

6.7 Un ejemplo en JavaScript

Podemos aplicar la fórmula con tres cantidades: tamaño del primer conjunto, tamaño del segundo conjunto y tamaño de su intersección.

const usuariosAnalisis = 12;
const usuariosVisualizacion = 9;
const usuariosAmbas = 4;

const usuariosAlMenosUna =
  usuariosAnalisis + usuariosVisualizacion - usuariosAmbas;

console.log(`Usuarios en al menos una herramienta: ${usuariosAlMenosUna}`);

El resultado es 17, porque los 4 usuarios comunes se restan una vez.

6.8 Aplicación con conjuntos reales

Cuando tenemos los elementos concretos, podemos calcular la unión y la intersección directamente. En este ejemplo, el conjunto resultante no repite elementos.

const grupoA = new Set(["Ana", "Luis", "Marta", "Pablo"]);
const grupoB = new Set(["Marta", "Pablo", "Sofía"]);

const interseccion = [...grupoA].filter(elemento => grupoB.has(elemento));
const union = new Set([...grupoA, ...grupoB]);

console.log(`Intersección: ${interseccion.join(", ")}`);
console.log(`Unión: ${[...union].join(", ")}`);
console.log(`Cantidad de la unión: ${union.size}`);

La unión contiene a cada persona una sola vez, aunque pertenezca a los dos grupos.

6.9 Por qué se resta la intersección

La fórmula puede entenderse paso a paso:

1. Contamos todos los elementos de A.
2. Sumamos todos los elementos de B.
3. Observamos que los elementos de A ∩ B fueron contados dos veces.
4. Restamos una copia de la intersección.

6.10 Tres conjuntos

Cuando intervienen tres conjuntos, el patrón continúa alternando sumas y restas:

Primero se incluyen los tres conjuntos, después se excluyen las intersecciones de dos conjuntos y finalmente se vuelve a incluir la intersección de los tres. Esta última suma corrige una resta excesiva.

6.11 Ejemplo con tres características

Un conjunto de registros cumple las siguientes condiciones:

El resultado representa los registros que cumplen al menos una de las tres condiciones.

6.12 Aplicaciones en informática

• Contar usuarios que utilizan al menos una de varias funciones.
• Combinar resultados de búsquedas sin duplicar registros.
• Analizar elementos que cumplen una o más propiedades.
• Contar archivos clasificados en varias categorías.
• Calcular casos favorables en problemas de probabilidad.
• Eliminar duplicados al integrar fuentes de datos.

El principio es especialmente útil cuando las categorías se superponen y necesitamos conocer cuántos elementos distintos aparecen en total.

6.13 Errores frecuentes

• Sumar los tamaños de los conjuntos sin restar la intersección.
• Restar toda la intersección más de una vez.
• Usar una intersección mayor que alguno de los conjuntos.
• Confundir unión con intersección.
• Aplicar la fórmula de dos conjuntos cuando intervienen tres o más grupos.

6.14 Qué debes recordar de este tema

• La unión reúne los elementos de varios conjuntos sin repetirlos.
• La intersección contiene los elementos compartidos.
• Para dos conjuntos: |A ∪ B| = |A| + |B| - |A ∩ B|.
• Se resta la intersección porque fue contada dos veces.
• Si la intersección es cero, se aplica directamente el principio de la suma.
• Con tres o más conjuntos se alternan inclusiones y exclusiones.
• En informática, permite combinar categorías y búsquedas sin duplicados.

6.15 Conclusión

El principio de inclusión y exclusión amplía el principio de la suma para trabajar con grupos superpuestos. Su idea central es incluir todos los grupos y excluir las repeticiones causadas por las intersecciones.

En el próximo tema estudiaremos los diagramas de árbol, una forma visual de representar decisiones y posibilidades de un problema de conteo.