La curtosis describe, mediante momentos de orden cuatro, la concentración de una distribución y el peso relativo de sus colas. Es especialmente sensible a valores extremos.
La curtosis es una medida de forma relacionada con la concentración central y, sobre todo, con el peso de las colas. Se calcula elevando desviaciones estandarizadas a la cuarta potencia.
Como la cuarta potencia elimina el signo y amplifica distancias grandes, la curtosis es muy sensible a observaciones extremas.
Una definición poblacional habitual es:
La distribución normal tiene curtosis 3 y exceso de curtosis 0. Muchas bibliotecas informan el exceso, no la curtosis directa; por eso hay que revisar la documentación.
El cuarto momento central es:
Al dividir por σ⁴ se elimina la unidad de medida. La potencia cuatro da mucha influencia a los valores alejados, más que la varianza, que usa potencia dos.
Dos distribuciones pueden tener media y desviación estándar similares, pero diferente cantidad de observaciones en las colas. La que tiene más valores extremos tendrá normalmente mayor exceso de curtosis.
Esto no significa necesariamente que tenga un pico central más alto. La interpretación antigua de “apuntamiento” es incompleta: las colas son una parte esencial del concepto.
Compara una distribución de referencia, una con colas pesadas y otra más extendida. El indicador usa el exceso de curtosis poblacional.
| Exceso | Descripción orientativa | Precaución |
|---|---|---|
| Cercano a 0 | Similar a la referencia normal. | No demuestra normalidad. |
| Positivo | Colas relativamente pesadas. | Puede estar dominado por outliers. |
| Negativo | Colas relativamente livianas. | Depende de la forma completa. |
Una sola observación muy alejada puede aumentar mucho el cuarto momento. Por eso la curtosis puede servir como señal de colas o extremos, pero no identifica por sí misma cuál registro es problemático.
La investigación debe combinar Box Plot, histograma, tabla original y conocimiento del proceso.
Son medidas diferentes:
| Medida | Momento | Pregunta |
|---|---|---|
| Asimetría | Tercero, potencia 3. | ¿Hacia qué lado se extiende la cola? |
| Curtosis | Cuarto, potencia 4. | ¿Qué peso tienen las colas? |
Una distribución puede ser simétrica y tener curtosis alta, o ser asimétrica y tener curtosis baja. No se debe deducir una medida a partir de la otra.
“Mesocúrtica” significa similar en curtosis a la distribución normal, no que los datos sean normales. La normalidad requiere revisar también simetría, forma, tamaño de muestra y gráficos.
Las pruebas formales de normalidad pueden tener demasiada sensibilidad en muestras grandes o poca potencia en muestras pequeñas.
La curtosis muestral puede ser inestable con pocos datos, especialmente cuando se estiman colas. Un exceso de 2,1 en una muestra pequeña no debe interpretarse con la misma confianza que el mismo valor en miles de observaciones.
Conviene informar n, método de estimación e intervalos de confianza o análisis de sensibilidad cuando la decisión dependa de ella.
Las bibliotecas pueden ofrecer versiones sesgadas o corregidas del exceso de curtosis. Algunas usan factores relacionados con n para estimar una población a partir de una muestra.
No hay que comparar directamente resultados de funciones distintas sin conocer su convención, divisor y tratamiento de sesgo.
Transformaciones como logaritmos pueden cambiar el peso relativo de colas y, por lo tanto, la curtosis. Esto puede ser útil para modelar datos positivos muy sesgados, pero cambia la escala de interpretación.
La curtosis debe calcularse y comunicarse en la escala que corresponda a la pregunta.
El ejemplo calcula el exceso de curtosis poblacional como cuarto momento estandarizado menos 3.
const datos = [-2, -1, 0, 1, 2];
const media = datos.reduce((suma, valor) => suma + valor, 0) / datos.length;
const varianza = datos.reduce((suma, valor) => suma + (valor - media) ** 2, 0) / datos.length;
const desvio = Math.sqrt(varianza);
const cuartoMomento = datos.reduce((suma, valor) => suma + (valor - media) ** 4, 0) / datos.length;
const curtosis = cuartoMomento / desvio ** 4;
const exceso = curtosis - 3;
console.log('Curtosis directa:', curtosis.toFixed(3));
console.log('Exceso de curtosis:', exceso.toFixed(3));
if (typeof document !== 'undefined') {
const canvas = document.getElementById('canvasCurtosisCodigo');
const contexto = canvas.getContext('2d');
const area = { izquierda: 70, derecha: 770, arriba: 60, base: 350 };
const escalaX = valor => area.izquierda + (valor + 3) / 6 * (area.derecha - area.izquierda);
contexto.clearRect(0, 0, canvas.width, canvas.height);
contexto.fillStyle = '#fefcff'; contexto.fillRect(0, 0, canvas.width, canvas.height);
contexto.fillStyle = '#372250'; contexto.font = 'bold 18px Segoe UI, Arial'; contexto.fillText('Curtosis y colas', 22, 30);
contexto.strokeStyle = '#e4d9f2'; contexto.lineWidth = 1; contexto.beginPath(); contexto.moveTo(area.izquierda, 230); contexto.lineTo(area.derecha, 230); contexto.stroke();
contexto.fillStyle = '#65438c'; contexto.font = '12px Segoe UI, Arial'; contexto.textAlign = 'center';
for (let valor = -3; valor <= 3; valor++) { const x = escalaX(valor); contexto.beginPath(); contexto.moveTo(x, area.arriba); contexto.lineTo(x, area.base); contexto.stroke(); contexto.fillText(valor, x, area.base + 18); }
contexto.fillStyle = '#9b6dcc'; datos.forEach(valor => { contexto.beginPath(); contexto.arc(escalaX(valor), 230, 7, 0, Math.PI * 2); contexto.fill(); });
contexto.fillStyle = '#633595'; contexto.font = 'bold 13px Segoe UI, Arial'; contexto.fillText(`Exceso = ${exceso.toFixed(3)}`, (area.izquierda + area.derecha) / 2, 325);
}El informe debe aclarar si informa curtosis directa o exceso, si el cálculo es poblacional o muestral, el tamaño de muestra y el método utilizado.
La interpretación textual debe mencionar colas y valores extremos; no es suficiente mostrar un número sin explicación.
La curtosis aporta información sobre las colas y la concentración de una distribución. Su cálculo es sencillo en apariencia, pero sus convenciones y su sensibilidad a extremos exigen una interpretación cuidadosa.
En el próximo tema estudiaremos la covarianza, que describe cómo varían conjuntamente dos variables.