La covarianza mide si dos variables tienden a desviarse juntas respecto de sus medias. Su signo indica la dirección de la relación, mientras su magnitud depende de las unidades.
Cuando cada observación tiene dos valores, x e y, podemos estudiar si ambos aumentan o disminuyen juntos. La covarianza combina las desviaciones de las dos variables.
Es positiva cuando los valores altos de x suelen acompañarse de valores altos de y, y negativa cuando los valores altos de una variable se relacionan con valores bajos de la otra.
| Observación | x | y |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 2 |
| 2 | 2 | 4 |
| 3 | 3 | 5 |
| 4 | 4 | 8 |
La asociación visual es positiva: los pares tienden a subir juntos. La covarianza cuantifica esa dirección usando las desviaciones respecto de cada media.
Se resta la media de cada variable, se multiplican las desviaciones de cada observación y luego se promedian los productos.
Al igual que con la varianza, el divisor depende de si se describe una población completa o se estima una relación poblacional a partir de una muestra.
Para x = 1, 2, 3 y y = 2, 4, 5:
La mayoría de los productos son positivos: ambas variables quedan del mismo lado de sus medias.
Explora relaciones positivas, negativas y sin dirección clara. El gráfico muestra las medias de x e y como líneas de referencia.
| Producto de desviaciones | Contribución | Patrón |
|---|---|---|
| Positivo × positivo | Positiva | x e y están ambas por encima. |
| Negativo × negativo | Positiva | x e y están ambas por debajo. |
| Positivo × negativo | Negativa | Una arriba y otra abajo. |
La suma de productos resume la dirección conjunta de todas las observaciones.
Una covarianza cercana a cero indica poca relación lineal conjunta, pero no descarta una relación curva o una estructura por grupos.
Siempre conviene observar el diagrama de dispersión. Un número aislado puede ocultar formas importantes.
La covarianza tiene el producto de las unidades de las variables:
Por eso la magnitud no es fácil de comparar entre problemas con unidades distintas. La correlación normaliza la covarianza para obtener una medida sin unidades.
La correlación divide la covarianza por las desviaciones estándar de ambas variables. Por eso queda entre −1 y 1, mientras que la covarianza no tiene un rango fijo.
En regresión lineal simple, la pendiente puede escribirse como:
La covarianza aporta la dirección y la varianza de x ajusta cuánto cambia y por unidad de x. Si Var(X) es cero, no existe pendiente porque x no varía.
Si se transforman las variables:
Sumar constantes no cambia la covarianza. Multiplicar una variable por un factor cambia el resultado según ese factor; cambiar el signo de una variable puede invertir la covarianza.
Un punto alejado en ambos ejes puede dominar la covarianza porque produce un producto grande. Un outlier puede cambiar el signo o la magnitud de la asociación.
Se debe revisar la observación, comparar con y sin ella y decidir según el objetivo, sin eliminarla automáticamente.
Una covarianza positiva no demuestra que x cause y. Puede existir una variable común, una relación temporal, un sesgo de selección o una coincidencia.
La covarianza describe asociación conjunta en los datos observados; las conclusiones causales requieren diseño y contexto adicionales.
El ejemplo calcula medias, productos de desviaciones y covarianza poblacional, y dibuja los pares en un canvas.
const pares = [
{ x: 1, y: 2 }, { x: 2, y: 4 },
{ x: 3, y: 5 }, { x: 4, y: 8 }
];
const mediaX = pares.reduce((suma, par) => suma + par.x, 0) / pares.length;
const mediaY = pares.reduce((suma, par) => suma + par.y, 0) / pares.length;
const productos = pares.map(par => (par.x - mediaX) * (par.y - mediaY));
const covarianza = productos.reduce((suma, valor) => suma + valor, 0) / pares.length;
console.log('Media de x:', mediaX);
console.log('Media de y:', mediaY);
console.log('Productos:', productos);
console.log('Covarianza poblacional:', covarianza.toFixed(3));
if (typeof document !== 'undefined') {
const canvas = document.getElementById('canvasCovarianzaCodigo');
const contexto = canvas.getContext('2d');
const area = { izquierda: 70, derecha: 770, arriba: 60, base: 350 };
const escalaX = valor => area.izquierda + (valor - 0) / 5 * (area.derecha - area.izquierda);
const escalaY = valor => area.base - (valor - 0) / 10 * (area.base - area.arriba);
contexto.clearRect(0, 0, canvas.width, canvas.height);
contexto.fillStyle = '#fbfdff'; contexto.fillRect(0, 0, canvas.width, canvas.height);
contexto.fillStyle = '#17324d'; contexto.font = 'bold 18px Segoe UI, Arial'; contexto.fillText('Covarianza de dos variables', 22, 30);
contexto.strokeStyle = '#d8e8f7'; contexto.lineWidth = 1; contexto.font = '11px Segoe UI, Arial'; contexto.fillStyle = '#28587d'; contexto.textAlign = 'center';
for (let valor = 0; valor <= 5; valor++) { const x = escalaX(valor); contexto.beginPath(); contexto.moveTo(x, area.arriba); contexto.lineTo(x, area.base); contexto.stroke(); contexto.fillText(valor, x, area.base + 18); }
for (let valor = 0; valor <= 10; valor += 2) { const y = escalaY(valor); contexto.beginPath(); contexto.moveTo(area.izquierda, y); contexto.lineTo(area.derecha, y); contexto.stroke(); contexto.textAlign = 'right'; contexto.fillText(valor, area.izquierda - 8, y + 4); }
contexto.strokeStyle = '#28587d'; contexto.lineWidth = 2; contexto.beginPath(); contexto.moveTo(area.izquierda, area.arriba); contexto.lineTo(area.izquierda, area.base); contexto.lineTo(area.derecha, area.base); contexto.stroke();
contexto.fillStyle = '#e76f51'; pares.forEach(par => { contexto.beginPath(); contexto.arc(escalaX(par.x), escalaY(par.y), 7, 0, Math.PI * 2); contexto.fill(); });
contexto.fillStyle = '#286a91'; contexto.font = 'bold 13px Segoe UI, Arial'; contexto.textAlign = 'left'; contexto.fillText(`Covarianza = ${covarianza.toFixed(3)}`, 90, 85);
}El informe debe mostrar las unidades de x e y, el tipo de covarianza, el divisor, las medias y la interpretación del signo.
El gráfico debe incluir ejes, etiquetas, unidades y un resumen textual. No se debe depender únicamente de colores para distinguir los puntos.
La covarianza es el primer paso para estudiar cómo se mueven juntas dos variables. Su signo aporta dirección, pero su magnitud depende de las unidades; por eso suele complementarse con correlación y diagramas de dispersión.
En el próximo tema estudiaremos la correlación, una versión estandarizada y comparable de esta relación.