Una función cuadrática incluye una variable elevada al cuadrado. Su gráfico es una parábola y permite modelar trayectorias, áreas, aceleraciones y comportamientos que no crecen a ritmo constante.
Hasta ahora trabajamos con funciones lineales y afines, donde el cambio se mantiene constante. En una función cuadrática, el cambio no es constante: la salida puede aumentar cada vez más rápido, disminuir hasta cierto punto y luego volver a crecer, o describir una curva con forma de parábola.
Este tipo de función aparece con frecuencia en simulaciones, gráficos, videojuegos, cálculo de áreas y modelos físicos simples.
Una función cuadrática tiene la forma general:
El coeficiente a no puede ser cero. Si a = 0, desaparece el término cuadrático y la función deja de ser cuadrática.
| Parte | Nombre | Interpretación inicial |
|---|---|---|
| a | Coeficiente cuadrático | Controla la curvatura y la orientación de la parábola |
| b | Coeficiente lineal | Influye en la posición horizontal del vértice |
| c | Término independiente | Indica el valor de la función cuando x = 0 |
Consideremos la función:
Al evaluar distintos valores de x, obtenemos:
| x | f(x) = x² |
|---|---|
| -3 | 9 |
| -2 | 4 |
| -1 | 1 |
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 2 | 4 |
| 3 | 9 |
Los valores negativos y positivos de igual magnitud producen el mismo resultado porque el cuadrado siempre es positivo o cero.
En JavaScript podemos calcular una función cuadrática usando el operador de potencia **.
function cuadratica(x) {
return x ** 2;
}
console.log(cuadratica(-3));
console.log(cuadratica(0));
console.log(cuadratica(4));Para trabajar con cualquier función cuadrática podemos recibir los coeficientes a, b y c como parámetros.
function evaluarCuadratica(x, a, b, c) {
return a * x ** 2 + b * x + c;
}
console.log(evaluarCuadratica(2, 1, 3, 2));
console.log(evaluarCuadratica(-1, 2, 0, 5));La primera llamada evalúa f(x) = x² + 3x + 2 en x = 2.
En una función lineal o afín, el valor cambia siempre en la misma cantidad cuando x aumenta de a uno. En una función cuadrática, ese cambio también cambia.
| x | f(x) = x² | Cambio respecto al valor anterior |
|---|---|---|
| 0 | 0 | - |
| 1 | 1 | +1 |
| 2 | 4 | +3 |
| 3 | 9 | +5 |
| 4 | 16 | +7 |
La salida no crece de forma constante: los incrementos son cada vez mayores.
El gráfico de una función cuadrática es una parábola. Si a es positivo, la parábola abre hacia arriba. Si a es negativo, abre hacia abajo.
El tema siguiente se enfocará en la parábola y sus elementos principales.
Una forma práctica de estudiar una función es generar pares de valores x e y.
function evaluarCuadratica(x, a, b, c) {
return a * x ** 2 + b * x + c;
}
for (let x = -3; x <= 3; x++) {
console.log(x, evaluarCuadratica(x, 1, 0, 0));
}Estos pares pueden usarse luego para construir una tabla o dibujar un gráfico.
En un videojuego o una simulación simple, la altura de un objeto puede aproximarse con una función cuadrática. La gravedad hace que la trayectoria suba, alcance un punto máximo y luego baje.
function alturaSalto(tiempo) {
return -5 * tiempo ** 2 + 20 * tiempo;
}
for (let t = 0; t <= 4; t++) {
console.log(t, alturaSalto(t));
}El coeficiente cuadrático negativo indica que la parábola abre hacia abajo.
La trayectoria del proyectil de un cañón puede representarse con una parábola. En esta miniaplicación, al presionar el botón se dispara el cañón y la trayectoria queda marcada con una línea de puntos.
El movimiento combina una velocidad horizontal constante con una altura que cambia por efecto de la gravedad. Esa combinación produce la curva parabólica.
El área de un cuadrado depende del cuadrado de la longitud de su lado.
function areaCuadrado(lado) {
return lado ** 2;
}
console.log(areaCuadrado(3));
console.log(areaCuadrado(10));Si el lado se duplica, el área no se duplica: se multiplica por cuatro.
| Área | Uso | Ejemplo |
|---|---|---|
| Videojuegos | Trayectorias con gravedad | Salto de un personaje |
| Gráficos | Curvas suaves | Animaciones con aceleración |
| Geometría | Cálculo de áreas | Área de cuadrados o regiones |
| Optimización | Buscar mínimos o máximos | Costos, ganancias o errores |
Las funciones cuadráticas permiten representar comportamientos curvos que no pueden explicarse bien con rectas. Son un paso importante para modelar fenómenos donde el cambio se acelera, se frena o alcanza un máximo o mínimo.
En el próximo tema veremos la parábola y sus elementos, para interpretar mejor el gráfico de estas funciones.