La parábola es el gráfico de una función cuadrática. Sus elementos permiten interpretar la forma de la curva, su punto más alto o más bajo y sus intersecciones con los ejes.
En el tema anterior vimos que una función cuadrática tiene la forma f(x) = ax² + bx + c. Su representación gráfica es una parábola.
Para usar funciones cuadráticas en programas no alcanza con calcular valores aislados. También conviene entender qué indica la forma de la curva: dónde crece, dónde decrece, cuál es su punto extremo y cómo se relaciona con los ejes.
Una parábola es una curva simétrica. En el contexto de funciones cuadráticas, aparece al graficar una expresión de segundo grado.
La parábola puede abrir hacia arriba o hacia abajo según el signo del coeficiente a.
| Elemento | Descripción | Utilidad |
|---|---|---|
| Vértice | Punto más bajo o más alto de la parábola | Permite ubicar el mínimo o máximo |
| Eje de simetría | Recta vertical que divide la parábola en dos partes iguales | Ayuda a construir e interpretar el gráfico |
| Concavidad | Dirección en la que abre la parábola | Indica si hay mínimo o máximo |
| Cortes con los ejes | Puntos donde la curva toca o cruza los ejes | Sirven para interpretar ceros y valores iniciales |
La concavidad depende del signo del coeficiente a.
| Condición | Forma | Interpretación |
|---|---|---|
| a > 0 | Abre hacia arriba | La función tiene un valor mínimo |
| a < 0 | Abre hacia abajo | La función tiene un valor máximo |
En una trayectoria de proyectil, por ejemplo, suele aparecer una parábola que abre hacia abajo porque la gravedad reduce la altura después del punto máximo.
El vértice es el punto extremo de la parábola. Si la parábola abre hacia arriba, el vértice es un mínimo. Si abre hacia abajo, el vértice es un máximo.
Este punto es clave en problemas de optimización: costo mínimo, ganancia máxima, altura máxima o error mínimo.
Podemos escribir una función que reciba los coeficientes a, b y c, y devuelva las coordenadas del vértice.
function evaluarCuadratica(x, a, b, c) {
return a * x ** 2 + b * x + c;
}
function calcularVertice(a, b, c) {
const x = -b / (2 * a);
const y = evaluarCuadratica(x, a, b, c);
return { x, y };
}
console.log(calcularVertice(1, -4, 3));
console.log(calcularVertice(-2, 8, 1));El eje de simetría es una recta vertical que pasa por el vértice. Su ecuación es:
Si dos valores de x están a la misma distancia del eje de simetría, producen el mismo valor de y.
El corte con el eje y se obtiene evaluando la función en x = 0.
Por eso, en la forma f(x) = ax² + bx + c, el valor c indica dónde la parábola corta el eje vertical.
Los cortes con el eje x son los valores donde la función vale cero. También se llaman raíces o ceros de la función.
Una parábola puede cortar el eje x en dos puntos, tocarlo en un solo punto o no cortarlo.
| Situación | Cantidad de cortes | Interpretación gráfica |
|---|---|---|
| Dos raíces reales | 2 | La parábola cruza el eje x |
| Una raíz real doble | 1 | La parábola toca el eje x en el vértice |
| Sin raíces reales | 0 | La parábola no alcanza el eje x |
El discriminante permite saber cuántos cortes con el eje x tiene una función cuadrática.
| Discriminante | Cortes con el eje x |
|---|---|
| Mayor que 0 | Dos cortes |
| Igual a 0 | Un corte |
| Menor que 0 | Ningún corte real |
El siguiente ejemplo calcula las raíces reales de una función cuadrática cuando existen.
function calcularRaices(a, b, c) {
const discriminante = b ** 2 - 4 * a * c;
if (discriminante < 0) {
return [];
}
if (discriminante === 0) {
return [-b / (2 * a)];
}
const raiz = Math.sqrt(discriminante);
return [
(-b - raiz) / (2 * a),
(-b + raiz) / (2 * a)
];
}
console.log(calcularRaices(1, -5, 6));
console.log(calcularRaices(1, 2, 1));
console.log(calcularRaices(1, 0, 4));Para dibujar una parábola en un programa, normalmente generamos muchos puntos y luego los unimos en un gráfico.
function evaluarCuadratica(x, a, b, c) {
return a * x ** 2 + b * x + c;
}
function generarPuntos(a, b, c, desde, hasta, paso) {
const puntos = [];
for (let x = desde; x <= hasta; x += paso) {
puntos.push({ x, y: evaluarCuadratica(x, a, b, c) });
}
return puntos;
}
console.log(generarPuntos(1, 0, 0, -3, 3, 1));Analicemos la función:
| Elemento | Valor |
|---|---|
| Concavidad | Abre hacia arriba porque a = 1 |
| Eje de simetría | x = 2 |
| Vértice | (2, -1) |
| Corte con eje y | (0, 3) |
| Cortes con eje x | (1, 0) y (3, 0) |
Comprender los elementos de una parábola permite interpretar mejor una función cuadrática sin depender solamente de una tabla de valores. El vértice, el eje de simetría, la concavidad y los cortes con los ejes resumen gran parte del comportamiento de la curva.
En el próximo tema veremos con más detalle cómo calcular e interpretar el vértice y las intersecciones de una función cuadrática.