El vértice y las intersecciones resumen gran parte del comportamiento de una función cuadrática. Permiten ubicar máximos, mínimos, valores iniciales y puntos donde la función se anula.
Una función cuadrática puede analizarse observando algunos puntos especiales. Entre ellos, los más importantes son el vértice y las intersecciones con los ejes.
Estos puntos permiten interpretar la función sin graficar todos sus valores. En programación, también sirven para detectar máximos, mínimos, cruces, límites y eventos importantes en simulaciones.
Trabajaremos con la forma general:
El coeficiente a determina la concavidad, b influye en la posición del vértice y c indica el corte con el eje vertical.
| Punto o elemento | Qué indica | Ejemplo de uso |
|---|---|---|
| Vértice | Valor mínimo o máximo de la función | Altura máxima de un salto |
| Corte con eje y | Valor de la función cuando x = 0 | Estado inicial de una simulación |
| Cortes con eje x | Valores donde la salida vale cero | Instantes donde un proyectil toca el suelo |
| Eje de simetría | Recta vertical que pasa por el vértice | Centro de una trayectoria parabólica |
El vértice se calcula encontrando primero su coordenada x:
El punto (xᵥ, yᵥ) es el vértice. Si a > 0, representa un mínimo. Si a < 0, representa un máximo.
Analicemos la función:
Sus coeficientes son a = 1, b = -6 y c = 8.
Como a es positivo, la parábola abre hacia arriba y el vértice es un mínimo.
El siguiente código calcula el vértice y además indica si es mínimo o máximo.
function evaluarCuadratica(x, a, b, c) {
return a * x ** 2 + b * x + c;
}
function calcularVertice(a, b, c) {
const x = -b / (2 * a);
const y = evaluarCuadratica(x, a, b, c);
const tipo = a > 0 ? "mínimo" : "máximo";
return { x, y, tipo };
}
console.log(calcularVertice(1, -6, 8));
console.log(calcularVertice(-1, 4, 2));La intersección con el eje y ocurre cuando x = 0. En una función cuadrática en forma general, ese valor es directamente c.
Este punto suele representar un valor inicial: altura inicial, costo inicial, puntaje inicial o valor base del modelo.
En la función:
El corte con el eje y es:
Las intersecciones con el eje x se obtienen resolviendo:
Estos valores también se llaman raíces o ceros de la función, porque allí la salida vale cero.
Cuando una función cuadrática tiene raíces reales, pueden calcularse con la fórmula:
La parte b² - 4ac es el discriminante. Su valor determina cuántas intersecciones reales existen.
| Discriminante | Raíces reales | Gráfico |
|---|---|---|
| D > 0 | Dos raíces distintas | La parábola cruza el eje x dos veces |
| D = 0 | Una raíz doble | La parábola toca el eje x en el vértice |
| D < 0 | No hay raíces reales | La parábola no corta el eje x |
El siguiente código calcula el vértice, el corte con el eje y y las raíces reales de una función cuadrática.
function analizarCuadratica(a, b, c) {
const xv = -b / (2 * a);
const yv = a * xv ** 2 + b * xv + c;
const corteY = { x: 0, y: c };
const discriminante = b ** 2 - 4 * a * c;
let cortesX = [];
if (discriminante === 0) {
cortesX = [{ x: -b / (2 * a), y: 0 }];
} else if (discriminante > 0) {
const raiz = Math.sqrt(discriminante);
cortesX = [
{ x: (-b - raiz) / (2 * a), y: 0 },
{ x: (-b + raiz) / (2 * a), y: 0 }
];
}
return {
vertice: { x: xv, y: yv },
corteY,
cortesX
};
}
console.log(analizarCuadratica(1, -6, 8));Supongamos una altura modelada por:
En este caso:
Podemos adaptar el análisis para una simulación simple.
function analizarTrayectoria(a, b, c) {
const tiempoMaximo = -b / (2 * a);
const alturaMaxima = a * tiempoMaximo ** 2 + b * tiempoMaximo + c;
const discriminante = b ** 2 - 4 * a * c;
const raiz = Math.sqrt(discriminante);
const tiempos = [
(-b - raiz) / (2 * a),
(-b + raiz) / (2 * a)
];
const tiempoCaida = tiempos.find(t => t >= 0);
return {
alturaInicial: c,
tiempoMaximo,
alturaMaxima,
tiempoCaida
};
}
console.log(analizarTrayectoria(-5, 20, 1));Cuando calculamos puntos especiales, conviene comprobarlos evaluando la función.
function f(x) {
return x ** 2 - 6 * x + 8;
}
const xVertice = 3;
const raiz1 = 2;
const raiz2 = 4;
console.log(f(xVertice));
console.log(f(raiz1));
console.log(f(raiz2));El vértice produce el valor mínimo -1, y las raíces producen 0.
| Situación | Elemento útil | Interpretación |
|---|---|---|
| Salto de un personaje | Vértice | Altura máxima |
| Proyectil | Corte con eje x | Momento de impacto con el suelo |
| Modelo de costo | Vértice | Costo mínimo |
| Gráfico de datos | Intersecciones | Cambios de signo o cruces de referencia |
El vértice y las intersecciones permiten leer la información más importante de una función cuadrática. Con estos puntos se pueden analizar trayectorias, detectar máximos y mínimos, encontrar cruces con referencias y validar resultados de un programa.
En el próximo tema veremos aplicaciones de funciones cuadráticas en problemas concretos de programación.