El grado de un polinomio indica la mayor potencia de la variable que aparece con coeficiente distinto de cero. Este dato ayuda a anticipar la forma general y el comportamiento de la función.
El grado de una función polinómica es una de sus características principales. Permite clasificarla y anticipar parte de su comportamiento gráfico.
En programación, conocer el grado también sirve para recorrer coeficientes, evaluar polinomios, seleccionar algoritmos y decidir qué tipo de modelo matemático estamos usando.
El grado de un polinomio es el mayor exponente de la variable cuyo coeficiente es distinto de cero.
El término de mayor grado se llama término principal, y su coeficiente se llama coeficiente principal.
| Función | Término principal | Grado |
|---|---|---|
| f(x) = 8 | 8 | 0 |
| f(x) = -3x + 5 | -3x | 1 |
| f(x) = 2x² - x + 4 | 2x² | 2 |
| f(x) = x⁵ - 7x² + 1 | x⁵ | 5 |
Un error común es creer que el grado depende de cuántos términos tiene el polinomio. En realidad, depende solo del mayor exponente con coeficiente distinto de cero.
Este polinomio tiene solo dos términos, pero su grado es 7.
Un polinomio puede no mostrar algunos términos intermedios. Esos términos se pueden considerar con coeficiente cero.
El grado sigue siendo 4, porque el término de mayor potencia con coeficiente distinto de cero es 3x⁴.
El coeficiente principal es el número que multiplica al término de mayor grado.
Este coeficiente será importante cuando estudiemos el comportamiento del polinomio para valores muy grandes o muy pequeños de x.
El polinomio cero es el caso especial:
No tiene un término con coeficiente distinto de cero. Por eso su grado no se define de la misma manera que en los demás polinomios. En programación conviene tratarlo como un caso especial.
Para identificar el grado de un polinomio:
Si guardamos los coeficientes desde el mayor grado hasta el término independiente, el grado inicial parece ser la longitud del arreglo menos uno.
Pero si el arreglo empieza con ceros, debemos ignorarlos.
El siguiente código recorre el arreglo de coeficientes hasta encontrar el primer coeficiente distinto de cero.
function gradoPolinomio(coeficientes) {
const total = coeficientes.length;
for (let i = 0; i < total; i++) {
if (coeficientes[i] !== 0) {
return total - i - 1;
}
}
return null;
}
console.log(gradoPolinomio([3, 0, 0, -2, 9]));
console.log(gradoPolinomio([0, 0, 5, -1]));
console.log(gradoPolinomio([0, 0, 0]));El valor null representa el caso especial del polinomio cero.
También podemos obtener el coeficiente principal ignorando ceros iniciales.
function coeficientePrincipal(coeficientes) {
for (const coeficiente of coeficientes) {
if (coeficiente !== 0) {
return coeficiente;
}
}
return null;
}
console.log(coeficientePrincipal([0, 0, -4, 2, 7]));
console.log(coeficientePrincipal([0, 0, 0]));A veces conviene eliminar los ceros iniciales antes de evaluar o analizar un polinomio.
function normalizarCoeficientes(coeficientes) {
const indice = coeficientes.findIndex(coeficiente => coeficiente !== 0);
if (indice === -1) {
return [0];
}
return coeficientes.slice(indice);
}
console.log(normalizarCoeficientes([0, 0, 3, -2, 1]));
console.log(normalizarCoeficientes([0, 0, 0]));El grado no describe todos los detalles de una función, pero da pistas sobre su forma general.
| Grado | Nombre común | Comportamiento típico |
|---|---|---|
| 0 | Constante | Valor fijo |
| 1 | Lineal o afín | Recta |
| 2 | Cuadrática | Parábola |
| 3 | Cúbica | Puede cambiar de curvatura |
| 4 o más | Polinomio de grado superior | Puede tener formas más complejas |
Una diferencia importante aparece entre grados pares e impares.
| Tipo de grado | Ejemplo | Idea general |
|---|---|---|
| Par | x², x⁴, x⁶ | Los extremos del gráfico suelen apuntar en la misma dirección |
| Impar | x, x³, x⁵ | Los extremos del gráfico suelen apuntar en direcciones opuestas |
Esta idea se estudiará con más detalle en el próximo tema.
Cuando trabajamos con datos o configuraciones, puede ser útil validar que un polinomio tenga el grado esperado.
function gradoPolinomio(coeficientes) {
const total = coeficientes.length;
for (let i = 0; i < total; i++) {
if (coeficientes[i] !== 0) {
return total - i - 1;
}
}
return null;
}
function esCuadratico(coeficientes) {
return gradoPolinomio(coeficientes) === 2;
}
console.log(esCuadratico([1, -4, 3]));
console.log(esCuadratico([0, 1, -4, 3]));El grado de una función polinómica permite clasificarla y anticipar su comportamiento general. También es un dato práctico cuando representamos polinomios mediante arreglos de coeficientes en un programa.
En el próximo tema veremos cómo cambia el comportamiento de las funciones polinómicas según su grado.