34. Funciones exponenciales

34.1 Introducción

Hasta ahora vimos funciones donde la variable aparecía como base de potencias, dentro de raíces, en denominadores o en condiciones por tramos. En una función exponencial, la variable aparece en el exponente.

Esto produce un comportamiento muy distinto: la salida no aumenta sumando siempre lo mismo, sino multiplicándose por un factor constante.

34.2 Definición

Una función exponencial básica tiene la forma:

Donde a es el valor inicial y b es la base o factor de multiplicación. La base debe ser positiva y distinta de 1.

34.3 Componentes

34.4 Ejemplo básico

Consideremos la función:

En cada paso, el valor se multiplica por 2.

34.5 Exponenciales en JavaScript

En JavaScript podemos usar el operador ** o Math.pow.

console.log(2 ** 0);
console.log(2 ** 3);
console.log(Math.pow(2, 4));

34.6 Función exponencial con parámetros

Podemos escribir una función general que reciba el valor inicial, la base y el exponente.

function exponencial(x, valorInicial, base) {
  return valorInicial * base ** x;
}

console.log(exponencial(0, 5, 2));
console.log(exponencial(1, 5, 2));
console.log(exponencial(4, 5, 2));

34.7 Crecimiento exponencial

Si la base es mayor que 1, la función representa crecimiento exponencial.

La salida se multiplica por 1.5 cada vez que x aumenta una unidad.

34.8 Decaimiento exponencial

Si la base está entre 0 y 1, la función representa decaimiento exponencial.

La salida conserva el 80% del valor anterior en cada paso.

34.9 Comparación con crecimiento lineal

El crecimiento lineal suma una cantidad constante. El crecimiento exponencial multiplica por un factor constante.

34.10 Generar una tabla con JavaScript

Podemos generar una tabla de valores para observar el crecimiento.

function generarTabla(valorInicial, base, hasta) {
  const tabla = [];

  for (let x = 0; x <= hasta; x++) {
    tabla.push({
      x,
      y: valorInicial * base ** x
    });
  }

  return tabla;
}

console.log(generarTabla(1, 2, 6));

34.11 Aplicación: interés compuesto

El interés compuesto es un ejemplo típico de crecimiento exponencial. El capital se multiplica por un factor en cada período.

function interesCompuesto(capitalInicial, tasa, periodos) {
  return capitalInicial * (1 + tasa) ** periodos;
}

console.log(interesCompuesto(1000, 0.1, 1));
console.log(interesCompuesto(1000, 0.1, 5));

34.12 Aplicación: dificultad o experiencia

En videojuegos, una función exponencial puede hacer que cada nivel requiera bastante más experiencia que el anterior.

function experienciaNecesaria(nivel) {
  const base = 100;
  const factor = 1.35;

  return Math.round(base * factor ** (nivel - 1));
}

for (let nivel = 1; nivel <= 6; nivel++) {
  console.log(nivel, experienciaNecesaria(nivel));
}

34.13 Aplicación: enfriamiento o pérdida

El decaimiento exponencial puede representar una cantidad que pierde un porcentaje fijo en cada paso.

function energiaRestante(energiaInicial, retencion, pasos) {
  return energiaInicial * retencion ** pasos;
}

console.log(energiaRestante(100, 0.8, 1));
console.log(energiaRestante(100, 0.8, 5));
console.log(energiaRestante(100, 0.8, 10));

34.14 Base e interpretación

34.15 Aplicaciones en programación

• Modelar crecimiento de usuarios o datos.
• Calcular interés compuesto.
• Diseñar progresión de dificultad en juegos.
• Simular decaimiento, enfriamiento o pérdida de energía.
• Representar procesos que se multiplican por un factor en cada paso.

34.16 Errores comunes

• Confundir crecimiento lineal con crecimiento exponencial.
• Olvidar que en una función exponencial la variable está en el exponente.
• Usar una base menor que cero sin analizar el dominio.
• No distinguir entre crecimiento y decaimiento según la base.
• Subestimar lo rápido que crece una exponencial para valores grandes.

34.17 Qué debes recordar de este tema

• Una función exponencial tiene la forma f(x) = a · bˣ.
• a representa el valor inicial.
• b representa el factor multiplicativo.
• Si b > 1, hay crecimiento exponencial.
• Si 0 < b < 1, hay decaimiento exponencial.
• En JavaScript se puede usar ** o Math.pow.

34.18 Conclusión

Las funciones exponenciales modelan procesos multiplicativos. Son esenciales para comprender crecimiento rápido, decaimiento, interés compuesto y progresiones que cambian por porcentaje.

En el próximo tema veremos crecimiento exponencial con más detalle y analizaremos sus aplicaciones.