39. Propiedades de los logaritmos

39.1 Introducción

Los logaritmos tienen propiedades que los hacen muy útiles para transformar expresiones. Estas reglas permiten convertir multiplicaciones en sumas, divisiones en restas y exponentes en factores.

En programación, estas propiedades ayudan a trabajar con escalas grandes, calcular exponentes, comparar crecimientos y evitar operaciones numéricas poco cómodas.

39.2 Condiciones básicas

Antes de aplicar propiedades, debemos recordar las condiciones de los logaritmos reales.

Si estas condiciones no se cumplen, las propiedades no se pueden aplicar dentro de los números reales.

39.3 Propiedad del producto

El logaritmo de un producto puede escribirse como suma de logaritmos.

Esta propiedad permite transformar multiplicaciones en sumas.

39.4 Verificar producto con JavaScript

function logBase(x, base) {
  return Math.log(x) / Math.log(base);
}

const izquierda = logBase(8 * 4, 2);
const derecha = logBase(8, 2) + logBase(4, 2);

console.log(izquierda);
console.log(derecha);

39.5 Propiedad del cociente

El logaritmo de un cociente puede escribirse como resta de logaritmos.

Esta propiedad exige que x e y sean positivos.

39.6 Verificar cociente con JavaScript

function logBase(x, base) {
  return Math.log(x) / Math.log(base);
}

const izquierda = logBase(64 / 8, 2);
const derecha = logBase(64, 2) - logBase(8, 2);

console.log(izquierda);
console.log(derecha);

39.7 Propiedad de la potencia

El logaritmo de una potencia permite bajar el exponente como factor.

Esta propiedad es muy útil para resolver ecuaciones exponenciales y analizar crecimientos.

39.8 Verificar potencia con JavaScript

function logBase(x, base) {
  return Math.log(x) / Math.log(base);
}

const x = 3;
const n = 4;

const izquierda = logBase(x ** n, 10);
const derecha = n * logBase(x, 10);

console.log(izquierda);
console.log(derecha);

39.9 Cambio de base

La propiedad de cambio de base permite calcular logaritmos en cualquier base usando otra base disponible.

En JavaScript, normalmente usamos Math.log para aplicar esta fórmula.

39.10 Función general de logaritmo

function logBase(x, base) {
  if (x <= 0 || base <= 0 || base === 1) {
    return null;
  }

  return Math.log(x) / Math.log(base);
}

console.log(logBase(81, 3));
console.log(logBase(1000, 10));
console.log(logBase(32, 2));

39.11 Logaritmo de 1

El logaritmo de 1 siempre es 0, para cualquier base válida.

console.log(Math.log10(1));
console.log(Math.log2(1));

39.12 Logaritmo de la base

El logaritmo de la base es 1.

console.log(Math.log10(10));
console.log(Math.log2(2));
console.log(Math.log(Math.E));

39.13 Resolver una ecuación exponencial

La propiedad de la potencia permite despejar exponentes.

function tiempoParaMultiplicar(factor, multiplicador) {
  return Math.log(multiplicador) / Math.log(factor);
}

console.log(tiempoParaMultiplicar(1.2, 5));

39.14 Transformar productos grandes

Cuando trabajamos con muchos factores, sumar logaritmos puede ser más cómodo que multiplicar directamente.

function logProducto(valores) {
  return valores.reduce((suma, valor) => suma + Math.log(valor), 0);
}

const valores = [2, 5, 10];

console.log(logProducto(valores));
console.log(Math.log(2 * 5 * 10));

39.15 Resumen de propiedades

39.16 Errores comunes

• Aplicar propiedades con valores negativos o cero dentro del logaritmo.
• Escribir log(x + y) = log(x) + log(y); esa propiedad no existe.
• Olvidar validar la base al usar cambio de base.
• Confundir logaritmo natural con logaritmo decimal en JavaScript.
• Usar propiedades sin revisar si las expresiones son positivas.

39.17 Qué debes recordar de este tema

• El logaritmo de un producto se transforma en suma.
• El logaritmo de un cociente se transforma en resta.
• El logaritmo de una potencia permite bajar el exponente.
• El cambio de base permite calcular logaritmos en cualquier base válida.
• log_b(1) = 0 y log_b(b) = 1.
• Las propiedades requieren argumentos positivos y base válida.

39.18 Conclusión

Las propiedades de los logaritmos permiten transformar expresiones complejas en operaciones más manejables. Son especialmente útiles al trabajar con potencias, crecimiento exponencial y escalas grandes.

En el próximo tema veremos aplicaciones de los logaritmos en programación y análisis de datos.