10. Intersección entre rectas
La intersección es el punto que satisface simultáneamente las ecuaciones de dos rectas. Encontrarlo permite detectar cruces, resolver trayectorias y determinar si dos direcciones se encuentran, permanecen paralelas o coinciden.
10.1 Introducción
Cuando dos rectas se cruzan, comparten exactamente un punto. Las coordenadas de ese punto deben cumplir las dos ecuaciones al mismo tiempo. Por eso el problema geométrico de encontrar un cruce se convierte en la resolución de un sistema de ecuaciones.
No todas las parejas tienen una intersección única: las rectas paralelas no se encuentran y las coincidentes comparten infinitos puntos.
10.2 Los tres resultados posibles
| Relación | Intersecciones | Descripción |
|---|---|---|
| Secantes | Una | Se cruzan en un único punto |
| Paralelas distintas | Ninguna | Tienen igual dirección y diferente posición |
| Coincidentes | Infinitas | Representan la misma recta |
10.3 Igualar dos ecuaciones
Sean las rectas y = m₁x + b₁ e y = m₂x + b₂. En la intersección ambas producen el mismo valor de y, por lo que podemos igualarlas:
Esta ecuación permite despejar primero x y luego sustituir el resultado en cualquiera de las rectas para obtener y.
10.4 Fórmula de la intersección
Reagrupamos los términos:
x = (b₂ − b₁) / (m₁ − m₂)
y = m₁x + b₁
La división solo es posible si m₁ ≠ m₂. Cuando las pendientes son iguales debemos distinguir paralelismo y coincidencia.
10.5 Ejemplo paso a paso
Busquemos el cruce entre y = 2x + 1 e y = −x + 7:
3x = 6
x = 2
y = 2 × 2 + 1 = 5
I = (2, 5)
La comprobación en la segunda ecuación produce −2 + 7 = 5. El punto satisface ambas.
10.6 Rectas paralelas
Si m₁ = m₂ pero b₁ ≠ b₂, las rectas tienen la misma inclinación y diferentes intersecciones verticales. Mantienen una separación constante y no se cruzan.
En la fórmula, el denominador sería cero mientras el numerador no lo es; geométricamente no existe solución.
10.7 Rectas coincidentes
Si m₁ = m₂ y b₁ = b₂, ambas ecuaciones describen exactamente la misma recta. Cada punto de una pertenece también a la otra.
No debemos devolver un punto arbitrario: el resultado correcto es indicar que las rectas coinciden.
10.8 Intersección con una recta vertical
Si una recta es x = c y la otra y = mx + b, el valor horizontal ya está determinado. Solo debemos evaluarlo:
y = mc + b
I = (c, mc + b)
Dos rectas verticales distintas son paralelas. Si poseen el mismo valor c, son coincidentes.
10.9 Simulación interactiva: encuentra el cruce
Modifica las ecuaciones. El punto amarillo aparece cuando existe una intersección única. Utiliza los casos rápidos para observar rectas secantes, paralelas, coincidentes y verticales.
10.10 Implementación en JavaScript
function interseccion(r1, r2, tolerancia = 1e-9) {
const denominador = r1.m - r2.m;
if (Math.abs(denominador) < tolerancia) {
return Math.abs(r1.b - r2.b) < tolerancia
? { tipo: "coincidentes" }
: { tipo: "paralelas" };
}
const x = (r2.b - r1.b) / denominador;
return { tipo: "punto", x, y: r1.m * x + r1.b };
}
console.log(interseccion(
{ m: 2, b: 1 },
{ m: -1, b: 7 }
));10.11 Rectas y segmentos no son lo mismo
Las rectas pueden cruzarse en un punto situado fuera de los segmentos visibles definidos por sus extremos. Para una colisión entre segmentos no basta con encontrar el cruce de las rectas: también debemos comprobar que pertenece a ambos intervalos.
segmentos: el cruce debe quedar dentro de ambos extremos
10.12 Precisión numérica
Con decimales, dos pendientes teóricamente iguales pueden diferir por una cantidad minúscula. Compararlas con `===` puede producir una intersección extremadamente lejana en vez de reconocer el paralelismo.
La tolerancia debe adaptarse a la escala de los datos. Un valor útil para coordenadas pequeñas puede ser insuficiente o excesivo en otro sistema.
10.13 Aplicaciones en gráficos 2D
- Calcular el cruce entre trayectorias.
- Encontrar vértices al construir polígonos.
- Resolver impactos de rayos contra bordes.
- Recortar líneas dentro de una región visible.
- Determinar puntos de fuga y guías geométricas.
- Detectar cruces entre calles, paredes o caminos.
- Construir herramientas de edición y dibujo.
10.14 Errores comunes
- Dividir por m₁ − m₂ sin comprobar si es cero.
- Confundir rectas paralelas con coincidentes.
- Calcular x y no sustituirla para obtener y.
- Utilizar signos incorrectos al despejar.
- Suponer que el cruce de rectas pertenece también a sus segmentos.
- Comparar pendientes decimales sin tolerancia.
- No tratar por separado las rectas verticales.
10.15 Qué debes recordar de este tema
- Una intersección satisface simultáneamente las dos ecuaciones.
- Dos rectas secantes poseen un único punto común.
- Pendientes iguales e intersecciones diferentes indican paralelismo.
- Ecuaciones equivalentes representan rectas coincidentes.
- Una recta vertical x = c se resuelve sustituyendo ese valor.
- Los cálculos decimales requieren una tolerancia.
- Para segmentos se necesita una comprobación adicional de límites.
10.16 Conclusión
Encontrar la intersección significa resolver dos restricciones al mismo tiempo. El resultado puede ser un punto, ninguna solución o infinitas soluciones, y reconocer cada caso es tan importante como calcular las coordenadas.
En el próximo tema compararemos rectas paralelas y perpendiculares mediante sus pendientes y direcciones.