13. Suma y resta de vectores

13.1 Introducción

Un objeto puede recibir varios desplazamientos durante un cuadro: moverse por una tecla, ser empujado por una fuerza y corregir su posición tras una colisión. La suma de vectores reúne todos esos cambios en un solo resultado.

La resta responde a la pregunta inversa: ¿qué vector hay que aplicar para pasar de un vector a otro?, o ¿cómo anulamos un desplazamiento existente?

13.2 Sumar componentes

La regla algebraica es directa: sumamos las componentes horizontales entre sí y las verticales entre sí.

Si u = (3, 2) y v = (−1, 4), entonces u + v = (2, 6). El resultado avanza dos unidades a la derecha y seis hacia arriba.

13.3 Interpretación geométrica

La suma puede dibujarse de dos formas equivalentes: trasladando el segundo vector hasta la punta del primero, o construyendo el paralelogramo que ambos determinan.

13.4 Regla punta–cola

Para sumar u + v, dibujamos u y trasladamos v sin cambiar sus componentes hasta que su cola coincida con la punta de u. La resultante comienza donde empieza u y termina donde termina el vector trasladado.

El orden de los pasos visuales puede cambiar, pero el resultado será el mismo porque la suma vectorial es conmutativa.

13.5 Método del paralelogramo

Dibujamos u y v desde el mismo origen. Luego trazamos copias paralelas de ambos vectores para completar un paralelogramo. La diagonal que parte del origen es u + v.

Este método hace visible que la suma reúne las dos contribuciones a la vez, mientras que punta–cola las presenta como movimientos sucesivos.

13.6 Propiedades de la suma

• Conmutativa: u + v = v + u.
• Asociativa: (u + v) + w = u + (v + w).
• Elemento neutro: u + 0 = u.
• Vector opuesto: u + (−u) = 0.

Estas propiedades permiten agrupar y reorganizar desplazamientos sin alterar el resultado final.

13.7 El vector opuesto

El opuesto de v = (vx, vy) invierte las dos componentes:

Para v = (4, −3), el opuesto es (−4, 3). Ambos tienen la misma longitud y dirección, pero sentidos contrarios.

13.8 Restar vectores

Restar un vector equivale a sumar su opuesto:

Si u = (3, 2) y v = (−1, 4), entonces u − v = (4, −2). La resta no es conmutativa: en general u − v es diferente de v − u.

13.9 Vector entre dos posiciones

La resta permite obtener el desplazamiento desde A hasta B:

Por eso, si conocemos una posición actual y una posición objetivo, el vector objetivo − actual indica hacia dónde está el objetivo.

13.10 Simulación interactiva: combina vectores

Modifica los componentes de u y v. Alterna suma y resta para ver cómo cambia el segundo vector y el resultado. Activa el paralelogramo para comprobar que la diagonal coincide con la construcción punta–cola.

13.11 Suma en JavaScript

function sumar(u, v) {
  return {
    x: u.x + v.x,
    y: u.y + v.y
  };
}

console.log(sumar(
  { x: 3, y: 2 },
  { x: -1, y: 4 }
));

El resultado es {"x":2,"y":6}. Cada componente se calcula de forma independiente.

13.12 Resta en JavaScript

function restar(u, v) {
  return {
    x: u.x - v.x,
    y: u.y - v.y
  };
}

const posicionActual = { x: 3, y: 2 };
const objetivo = { x: 9, y: 5 };

console.log(restar(objetivo, posicionActual));

El vector resultante es (6, 3): el desplazamiento necesario para ir desde la posición actual hasta el objetivo.

13.13 Sumar fuerzas y velocidades

La suma permite combinar varias influencias sobre un objeto. Una velocidad inicial, un empuje y una corrección pueden representarse mediante vectores y sumarse antes de actualizar la posición.

Al trabajar por componentes, cada efecto horizontal y vertical queda explícito y puede ajustarse de forma independiente.

13.14 Orden de las operaciones

La suma es conmutativa, pero la resta no lo es. Cambiar el orden altera el resultado:

Esto importa al calcular direcciones entre posiciones: destino − origen apunta hacia el destino; origen − destino apunta exactamente en sentido contrario.

13.15 Aplicaciones en gráficos 2D

• Combinar entradas de teclado horizontal y vertical.
• Acumular velocidades, fuerzas e impulsos.
• Obtener direcciones hacia un objetivo.
• Construir trayectorias por varios desplazamientos.
• Calcular posiciones relativas entre objetos.
• Crear controles de cámara y movimiento diagonal.
• Resolver correcciones de penetración en colisiones.

13.16 Errores comunes

• Sumar una componente x con una componente y.
• Restar en el orden incorrecto al buscar una dirección.
• Olvidar invertir ambas componentes al calcular el opuesto.
• Confundir el vector resultante con el último vector dibujado.
• Suponer que la resta es conmutativa.
• Mezclar vectores expresados en unidades distintas.
• Modificar accidentalmente los vectores originales en lugar de crear un resultado nuevo.

13.17 Qué debes recordar de este tema

• La suma se realiza componente a componente.
• u + v puede representarse por punta–cola o paralelogramo.
• La resultante conecta el origen inicial con la punta final.
• Restar v equivale a sumar −v.
• El opuesto invierte las dos componentes.
• La suma es conmutativa; la resta no.
• B − A produce el vector desde A hasta B.

13.18 Conclusión

La suma y la resta permiten tratar varios desplazamientos como una sola operación. Al combinarlos por componentes obtenemos resultados claros, predecibles y directamente utilizables para actualizar posiciones, velocidades y direcciones.

En el próximo tema estudiaremos la multiplicación de vectores por escalares para ampliar, reducir o invertir su efecto.