27. Arcos y sectores circulares

27.1 Introducción

Una circunferencia completa corresponde a una vuelta de 360° o 2π radianes. Cuando recorremos solamente una parte obtenemos un arco. Si además unimos sus extremos con el centro, delimitamos un sector circular.

La medida del ángulo central controla ambos objetos: un ángulo mayor produce un arco más largo y un sector de mayor área. Por eso conviene pensar el círculo como una cantidad total que se multiplica por la fracción de vuelta recorrida.

27.2 Arco, cuerda, sector y segmento

• Arco AB: porción curva de la circunferencia entre A y B.
• Cuerda AB: segmento recto que une A con B.
• Sector circular: región limitada por dos radios y un arco.
• Segmento circular: región limitada por una cuerda y su arco.

No debemos confundir arco y cuerda: tienen los mismos extremos, pero el arco sigue la curvatura y la cuerda toma el camino recto.

27.3 Interpretación visual

27.4 Ángulo central y fracción de vuelta

El ángulo central θ tiene vértice en el centro C y lados sobre los radios CA y CB. La fracción de circunferencia recorrida es:

Por ejemplo, 90° = π/2 rad representa un cuarto de vuelta; 180° = π rad representa media vuelta.

27.5 Longitud de un arco

La circunferencia completa mide 2πr. Al tomar la fracción correspondiente al ángulo obtenemos:

Si r=6 y θ=π/3, entonces s=6·π/3=2π≈6.28 unidades. La unidad del resultado es lineal, igual que la del radio.

27.6 Área de un sector circular

El círculo completo tiene área πr². Multiplicando por la fracción angular:

Para r=6 y θ=π/3, el área es ½·36·π/3=6π≈18.85 unidades cuadradas.

27.7 Longitud de la cuerda

La cuerda une directamente los extremos del arco. Al dividir el triángulo isósceles ACB en dos triángulos rectángulos se obtiene:

Para ángulos entre 0 y π, la cuerda es más corta que el arco. Cuando θ=π, la cuerda alcanza su máximo y coincide con el diámetro 2r.

27.8 Área del segmento circular

El segmento circular menor se obtiene restando al sector el triángulo formado por los dos radios y la cuerda:

Esta fórmula supone 0≤θ≤π y θ en radianes. Para un segmento mayor puede restarse el área del segmento menor al área total del círculo.

27.9 Arco menor, arco mayor y orientación

Entre dos puntos de una circunferencia existen dos recorridos. El arco menor no supera media vuelta; el arco mayor completa el resto. Si ambos extremos son opuestos, los dos son semicircunferencias.

En programación también importa el sentido horario o antihorario. En Canvas, el eje y apunta hacia abajo, de modo que la apariencia visual de los ángulos puede diferir del plano matemático.

27.10 Simulación interactiva

Modifica el radio y los ángulos. La zona amarilla representa el sector antihorario desde el ángulo inicial hasta el final; la curva celeste es el arco y la línea coral es la cuerda.

27.11 Calcular un arco y un sector

function gradosARadianes(grados) {
  return grados * Math.PI / 180;
}

const radio = 5;
const inicio = gradosARadianes(20);
const fin = gradosARadianes(140);
const angulo = fin - inicio;

const longitud = radio * angulo;
const areaSector = 0.5 * radio * radio * angulo;

console.log(`Inicio: ${inicio.toFixed(3)} rad`);
console.log(`Fin: ${fin.toFixed(3)} rad`);
console.log(`Amplitud: ${angulo.toFixed(3)} rad`);
console.log(`Longitud del arco: ${longitud.toFixed(2)}`);
console.log(`Área del sector: ${areaSector.toFixed(2)}`);

Al presionar Ejecutar, se convierten los ángulos a radianes y se calculan la amplitud, la longitud del arco y el área del sector, sin depender de Canvas.

27.12 Funciones reutilizables

const TAU = Math.PI * 2;

function normalizarAngulo(angulo) {
  return ((angulo % TAU) + TAU) % TAU;
}

function datosArco(radio, angulo) {
  return {
    longitud: radio * angulo,
    areaSector: 0.5 * radio * radio * angulo,
    cuerda: 2 * radio * Math.sin(angulo / 2)
  };
}

const anguloNormalizado = normalizarAngulo(-Math.PI / 2);
const datos = datosArco(8, Math.PI / 3);

console.log(`Ángulo normalizado: ${anguloNormalizado.toFixed(3)} rad`);
console.log(`Longitud: ${datos.longitud.toFixed(2)}`);
console.log(`Área del sector: ${datos.areaSector.toFixed(2)}`);
console.log(`Cuerda: ${datos.cuerda.toFixed(2)}`);

Al presionar Ejecutar, se normaliza un ángulo de −90° y se calculan los datos de un arco de radio 8 y amplitud 60°. Normalizar evita resultados negativos o superiores a una vuelta.

27.13 Aplicaciones y errores comunes

Los arcos y sectores aparecen en velocímetros, barras circulares de progreso, gráficos de torta, radares, conos de visión, menús radiales, relojes, trayectorias curvas y zonas de ataque.

Ejemplo animado: velocímetro

La rapidez se convierte en un ángulo entre −140° y 140°. El arco iluminado representa el sector recorrido y la aguja señala el valor actual. Las zonas cambian de color al pasar de velocidad normal a precaución y peligro.

Errores comunes

• Usar grados directamente en funciones que esperan radianes.
• Confundir longitud de arco con longitud de cuerda.
• Olvidar que el área se expresa en unidades cuadradas.
• No normalizar cuando el ángulo final es menor que el inicial.
• Elegir el arco mayor cuando se buscaba el menor.
• Olvidar el sentido invertido del eje vertical de la pantalla.

27.14 Qué debes recordar y conclusión

• El arco es curvo; la cuerda une los mismos extremos en línea recta.
• El sector está limitado por dos radios y un arco.
• Con θ en radianes: s=rθ y Asector=½r²θ.
• La cuerda mide 2r·sen(θ/2).
• Dos puntos determinan un arco menor y otro mayor.
• Normalizar ángulos evita ambigüedades en animaciones.

Los arcos convierten ángulos en distancias y los sectores convierten ángulos en áreas. Esta relación permite construir componentes radiales precisos y animarlos de manera natural.

En el próximo tema estudiaremos las elipses.