38. Reflexión y simetría

Una reflexión produce una imagen especular respecto de una recta. Cada punto y su reflejo quedan a igual distancia del eje, unidos por un segmento perpendicular a él.

38.1 Introducción

La reflexión aparece en espejos, sprites que cambian de dirección, diseños bilaterales, efectos de agua, cámaras y herramientas de edición. Conserva forma y tamaño, pero invierte la orientación.

El eje de reflexión permanece fijo: cualquier punto situado sobre él coincide con su propia imagen.

38.2 Definición geométrica

Si P' es la reflexión de P respecto de una recta L, se cumplen dos condiciones:

  • El segmento PP' es perpendicular a L.
  • El punto medio de PP' pertenece a L.

Por tanto, P y P' están a la misma distancia del eje y en lados opuestos.

38.3 Interpretación visual

Figura reflejada respecto de ejes coordenados y una recta oblicua, con puntos equidistantes y simetría bilateral
La reflexión conserva distancias y ángulos, pero intercambia izquierda y derecha respecto del eje.

38.4 Reflexión respecto de los ejes

eje x: (x,y)→(x,−y)
eje y: (x,y)→(−x,y)
origen: (x,y)→(−x,−y)

Reflejar respecto del origen equivale a aplicar consecutivamente las reflexiones de los ejes x e y, y también a una rotación de 180°.

38.5 Rectas verticales y horizontales desplazadas

respecto de x=a: x'=2a−x, y'=y
respecto de y=b: x'=x, y'=2b−y

Estas fórmulas trasladan mentalmente el eje hasta el origen, reflejan y lo devuelven. Si x=a, el punto no cambia.

38.6 Reflexión respecto de una recta arbitraria

Sea A un punto de la recta y n una normal unitaria. La distancia firmada desde P a la recta es d=(P−A)·n. Para llegar a la imagen recorremos dos veces esa distancia en sentido contrario:

P'=P−2[(P−A)·n]n

Normalizar n es indispensable. Si su longitud no es uno, la distancia y el resultado quedan escalados incorrectamente.

38.7 Método basado en proyección

También podemos proyectar P sobre la recta para hallar el pie H y continuar la misma distancia:

H=P−[(P−A)·n]n
P'=2H−P

H es el punto medio de PP'. Esta formulación resulta útil cuando también necesitamos mostrar la perpendicular o medir la distancia al eje.

38.8 Propiedades de la reflexión

  • Conserva distancias, ángulos, perímetro y área.
  • Conserva paralelismo y perpendicularidad.
  • Invierte la orientación de los vértices.
  • Su determinante es −1.
  • Es su propia inversa: reflejar dos veces devuelve el original.

38.9 Simetría axial

Una figura tiene simetría axial si reflejarla respecto de una recta produce exactamente la misma figura. Esa recta se denomina eje de simetría.

Un rectángulo no cuadrado tiene dos ejes; un cuadrado, cuatro; un círculo, infinitos. Una figura irregular puede no tener ninguno.

38.10 Composición de reflexiones

Dos reflexiones producen una transformación que conserva orientación:

  • Respecto de rectas paralelas: una traslación perpendicular de magnitud doble de la separación.
  • Respecto de rectas que se cortan: una rotación alrededor de la intersección, con ángulo doble del formado por las rectas.

Esta relación conecta simetría, traslación y rotación.

38.11 Reflexión de vectores y rebotes

Una dirección v puede reflejarse respecto de una superficie con normal unitaria n:

vreflejado=v−2(v·n)n

La fórmula es la misma idea que para puntos, pero la recta pasa por el origen porque un vector no posee posición. Se usa para rebotes y rayos.

38.12 Simulación interactiva

Modifica el punto A y el ángulo de la recta. El objeto amarillo es la imagen reflejada; las conexiones punteadas verifican la perpendicularidad y la igualdad de distancias.

A originalreflejada
Normal unitaria(−1, 0)
Error de equidistancia0
Determinante−1
Orientacióninvertida

38.13 Implementación en JavaScript

function reflejarEnRecta(p,a,n) {
  const distancia=(p.x-a.x)*n.x+(p.y-a.y)*n.y;
  return {
    x:p.x-2*distancia*n.x,
    y:p.y-2*distancia*n.y
  };
}

// La normal debe ser unitaria.
const recta = { x: 0, y: 0 };
const normal = { x: 1, y: 0 }; // espejo vertical x = 0
const puntos = [
  { x: 3, y: 2 },
  { x: 5, y: -1 },
  { x: -2, y: 4 }
];

puntos.forEach((p, i) => {
  const reflejado = reflejarEnRecta(p, recta, normal);
  console.log(
    `P${i + 1} (${p.x}, ${p.y}) → (${reflejado.x}, ${reflejado.y})`
  );
});

Al presionar Ejecutar, la consola muestra cada punto original y su reflejo respecto del eje vertical. Así se evita depender de un contexto gráfico.

38.14 Aplicaciones, errores y conclusión

Las reflexiones se usan en sprites, espejos, agua, patrones, diseño bilateral, rebotes, cámaras y herramientas de dibujo.

El dron y su reflejo

El dron recorre el cielo y su imagen invertida se mueve a la misma distancia bajo la superficie del agua. La línea vertical permite comprobar que ambos puntos correspondientes son perpendiculares al eje de reflexión.

EJE DE REFLEXIÓN: SUPERFICIE DEL AGUA
  • Usar una normal sin normalizar.
  • Confundir reflexión con rotación de 180°.
  • Reflejar respecto del origen cuando el eje está desplazado.
  • No invertir el orden de los vértices cuando un algoritmo exige orientación específica.
  • Aplicar una escala negativa alrededor del pivote equivocado.
  • Confundir la dirección de la recta con su vector normal.

Recuerda: el eje es la mediatriz de cada segmento PP'; una reflexión conserva medidas pero invierte orientación; y respecto de una recta general se usa P'=P−2[(P−A)·n]n.

En el próximo tema estudiaremos la composición de transformaciones.

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