8. Pendiente de una recta
La pendiente mide cuánto cambia verticalmente una recta por cada unidad de avance horizontal. Su signo indica si asciende o desciende y su magnitud expresa qué tan inclinada es.
8.1 Introducción
Dos rectas pueden atravesar el mismo punto y, sin embargo, seguir direcciones diferentes. La pendiente proporciona un número que describe esa inclinación. Permite comparar rectas, anticipar su comportamiento y construir su ecuación.
En gráficos 2D se utiliza para seguir superficies, orientar trazos, calcular cambios de altura y analizar segmentos.
8.2 Cambio vertical sobre cambio horizontal
Dados dos puntos distintos A = (x₁, y₁) y B = (x₂, y₂), calculamos cuánto cambian sus coordenadas:
Δy = y₂ − y₁
m = Δy / Δx
La letra m se utiliza habitualmente para representar la pendiente. Puede leerse como “subida dividida por avance”.
8.3 Ejemplo paso a paso
Para A = (1, 2) y B = (5, 4):
Δy = 4 − 2 = 2
m = 2 / 4 = 0,5
La pendiente 0,5 significa que por cada unidad que avanzamos hacia la derecha, la recta sube media unidad. De forma equivalente, sube 1 unidad cada 2 unidades horizontales.
8.4 Interpretar el signo
| Pendiente | Comportamiento de izquierda a derecha | Ejemplo |
|---|---|---|
| m > 0 | La recta asciende | m = 0,5 |
| m < 0 | La recta desciende | m = −2 |
| m = 0 | La recta es horizontal | y permanece constante |
| No definida | La recta es vertical | x permanece constante |
El signo no indica por sí solo qué tan inclinada es la recta; para eso observamos el valor absoluto.
8.5 Magnitud de la pendiente
Cuanto mayor es |m|, más pronunciado es el cambio vertical respecto del horizontal. Una pendiente cercana a cero produce una recta casi horizontal.
- m = 0,1: sube lentamente.
- m = 1: sube lo mismo que avanza.
- m = 4: sube cuatro veces más de lo que avanza.
- m = −4: desciende con la misma inclinación que la anterior.
Una recta vertical es el límite de una inclinación creciente, pero no se representa mediante una pendiente numérica finita.
8.6 Rectas horizontales y verticales
Si y₁ = y₂, entonces Δy = 0 y la pendiente es cero. Si x₁ = x₂, entonces Δx = 0 y la división no puede realizarse.
vertical: m = Δy / 0 → no definida
No debemos representar automáticamente la pendiente vertical como cero ni como infinito. En código es más claro detectar `dx === 0` y tratar el caso por separado.
8.7 La pendiente no depende de los puntos elegidos
Si A y B pertenecen a una recta, cualquier otro par de puntos distintos de esa misma recta produce la misma pendiente. Los triángulos formados tienen tamaños diferentes, pero son semejantes y conservan la proporción Δy / Δx.
Al intercambiar A y B, ambas diferencias cambian de signo y el cociente permanece igual:
8.8 Simulación interactiva: modifica la inclinación
Arrastra A y B para cambiar la recta. El triángulo muestra Δx y Δy, mientras el panel calcula la pendiente, su tipo y el ángulo de inclinación.
Intercambia los puntos y comprueba que Δx y Δy cambian de signo simultáneamente, mientras que la pendiente y la recta permanecen iguales.
8.9 Calcular la pendiente en JavaScript
La función devuelve `null` para una recta vertical, haciendo explícito que no existe una pendiente numérica:
function pendiente(a, b) {
const dx = b.x - a.x;
const dy = b.y - a.y;
if (dx === 0) return null;
return dy / dx;
}
console.log(pendiente(
{ x: 1, y: 2 },
{ x: 5, y: 4 }
));El resultado es 0,5. Con coordenadas decimales puede ser conveniente considerar vertical la recta cuando `Math.abs(dx)` sea menor que una tolerancia.
8.10 Relación entre pendiente y ángulo
La tangente del ángulo de inclinación θ es la pendiente. Por lo tanto, podemos obtener el ángulo mediante la función inversa:
θ = atan(m)
`Math.atan(m)` devuelve radianes. Para mostrar grados multiplicamos por 180 / π. Una pendiente 1 corresponde a 45°, una pendiente 0 a 0° y una pendiente −1 a −45°.
8.11 Pendiente en coordenadas de pantalla
En una pantalla sin transformación, y aumenta hacia abajo. Por eso una línea que visualmente desciende hacia la derecha produce Δy positivo. Si queremos interpretar la inclinación según el plano matemático, debemos invertir el cambio vertical:
La simulación ya realiza esta conversión: sus coordenadas y etiquetas corresponden al plano matemático aunque se dibujen en Canvas.
8.12 Aplicaciones en gráficos 2D
- Determinar si una superficie asciende o desciende.
- Orientar un objeto sobre una rampa.
- Comparar la dirección de dos rectas.
- Interpolar la altura a partir de un avance horizontal.
- Construir ecuaciones de rectas y bordes.
- Detectar líneas horizontales y verticales como casos especiales.
- Convertir una inclinación en un ángulo visual.
8.13 Errores comunes
- Invertir el cociente y calcular Δx / Δy.
- Restar las coordenadas en órdenes diferentes para el numerador y el denominador.
- Dividir por cero en una recta vertical.
- Confundir pendiente cero con pendiente no definida.
- Ignorar que el eje y de pantalla crece hacia abajo.
- Interpretar una pendiente grande como una distancia.
- Usar igualdad exacta con decimales para detectar verticalidad.
8.14 Qué debes recordar de este tema
- La pendiente es m = Δy / Δx.
- Una pendiente positiva asciende y una negativa desciende.
- La magnitud indica qué tan pronunciada es la inclinación.
- Una recta horizontal tiene pendiente cero.
- Una recta vertical tiene pendiente no definida.
- Cualquier par de puntos distintos de una recta produce la misma pendiente.
- La pendiente se relaciona con el ángulo mediante la tangente.
8.15 Conclusión
La pendiente resume la dirección de una recta en una proporción entre cambio vertical y horizontal. Reconocer su signo, magnitud y casos especiales permite analizar inclinaciones de manera uniforme.
En el próximo tema utilizaremos la pendiente junto con un punto conocido para construir la ecuación de una recta.