9. Ecuación de la recta
Una ecuación transforma una recta en una regla numérica. Permite generar sus puntos, comprobar pertenencia, dibujarla y resolver intersecciones sin depender de una representación visual.
9.1 Introducción
Una recta contiene infinitos puntos, por lo que no podemos almacenarlos uno por uno. En cambio, una ecuación describe la relación que cumplen todas sus coordenadas. Si un punto satisface esa relación, pertenece a la recta.
Existen varias formas equivalentes de escribirla. Cada una resulta conveniente según los datos disponibles y el problema que deseamos resolver.
9.2 Pendiente e intersección vertical
Cuando la recta no es vertical, una forma especialmente intuitiva es:
m es la pendiente y b es la ordenada al origen: el valor de y cuando x = 0.
9.3 Interpretar los parámetros m y b
- Modificar m rota la recta alrededor de su intersección con el eje y.
- Modificar b desplaza la recta verticalmente sin cambiar su inclinación.
- Si m = 0, obtenemos la recta horizontal y = b.
- El punto (0, b) siempre pertenece a la recta.
Por ejemplo, y = 2x + 1 cruza el eje y en (0, 1) y sube dos unidades por cada unidad horizontal.
9.4 Calcular puntos a partir de la ecuación
Elegimos un valor de x y evaluamos la expresión para obtener y:
x = −1 → y = −1
x = 0 → y = 1
x = 2 → y = 5
Los puntos (−1, −1), (0, 1) y (2, 5) están alineados porque satisfacen la misma ecuación.
9.5 Obtener la ecuación desde dos puntos
Dados A y B con distintas coordenadas x, primero calculamos la pendiente y luego despejamos b utilizando cualquiera de los puntos:
b = y₁ − mx₁
Para A = (1, 3) y B = (4, 9), m = 2 y b = 1. Por tanto, la ecuación es y = 2x + 1.
9.6 Forma punto–pendiente
Si conocemos una pendiente m y un punto A = (x₁, y₁), podemos evitar calcular inicialmente b:
Para m = 2 y A = (1, 3): y − 3 = 2(x − 1). Al desarrollar obtenemos y = 2x + 1. Esta forma deja visible el punto conocido.
9.7 Forma general
La ecuación general incluye rectas verticales y evita despejar una coordenada:
La recta y = 2x + 1 puede escribirse 2x − y + 1 = 0. Si B = 0 obtenemos una recta vertical. Por ejemplo, x = 3 equivale a x − 3 = 0.
9.8 Rectas verticales
Una recta vertical no puede escribirse como y = mx + b porque para un mismo x contiene infinitos valores de y y su pendiente no está definida. Su ecuación es:
Todos sus puntos comparten la coordenada x = c. Este caso debe detectarse al construir una ecuación desde dos puntos con x₁ = x₂.
9.9 Simulación interactiva: construye la ecuación
Modifica la pendiente y la intersección vertical. Arrastra el punto P para comprobar si satisface la ecuación. Cambia al modo vertical para trabajar con x = c.
El botón coloca P exactamente sobre el trazado. Después modifica m, b o c y observa cómo una ecuación distinta representa otro conjunto de puntos.
9.10 Comprobar un punto en JavaScript
Con números decimales usamos una tolerancia en lugar de exigir igualdad exacta:
function pertenece(punto, m, b, tolerancia = 0.0001) {
const yEsperada = m * punto.x + b;
return Math.abs(punto.y - yEsperada) < tolerancia;
}
console.log(
pertenece({ x: 2, y: 5 }, 2, 1)
);El resultado es true porque 5 = 2 × 2 + 1.
9.11 Construir la ecuación desde dos puntos
function ecuacionDesdePuntos(a, b) {
const dx = b.x - a.x;
if (dx === 0) {
return { tipo: "vertical", x: a.x };
}
const m = (b.y - a.y) / dx;
return { tipo: "regular", m, b: a.y - m * a.x };
}
console.log(ecuacionDesdePuntos(
{ x: 1, y: 3 }, { x: 4, y: 9 }
));La estructura devuelta distingue explícitamente las rectas regulares de las verticales.
9.12 Elegir la forma adecuada
| Forma | Datos convenientes | Ventaja |
|---|---|---|
| y = mx + b | Pendiente e intersección | Evaluar y y dibujar gráficas |
| y − y₁ = m(x − x₁) | Un punto y pendiente | No requiere calcular b al comienzo |
| Ax + By + C = 0 | Coeficientes generales | Incluye rectas verticales |
| x = c | Coordenada vertical fija | Representa claramente el caso vertical |
9.13 Aplicaciones en gráficos 2D
- Generar puntos para dibujar una línea.
- Comprobar alineación y pertenencia.
- Encontrar intersecciones entre rectas y bordes.
- Representar trayectorias y guías.
- Calcular una altura y para una posición x dada.
- Construir límites de regiones y polígonos.
- Convertir datos geométricos en reglas evaluables.
9.14 Errores comunes
- Confundir b con la intersección sobre el eje x.
- Olvidar multiplicar m por x al evaluar la ecuación.
- Intentar representar una recta vertical con una pendiente finita.
- Calcular b con un punto que no pertenece a la recta.
- Cambiar signos incorrectamente al pasar a la forma general.
- Comparar decimales mediante igualdad exacta.
- Mezclar coordenadas matemáticas y de pantalla sin convertir el eje y.
9.15 Qué debes recordar de este tema
- Una ecuación representa todos y solo los puntos de una recta.
- En y = mx + b, m es la pendiente y b la intersección vertical.
- Con dos puntos calculamos m y luego b.
- La forma punto–pendiente utiliza directamente un punto conocido.
- La forma general Ax + By + C = 0 incluye rectas verticales.
- Una recta vertical se expresa como x = c.
- En código conviene comprobar pertenencia mediante una tolerancia.
9.16 Conclusión
La ecuación de una recta comprime infinitos puntos en una relación sencilla. Sus distintas formas permiten construirla a partir de los datos disponibles, evaluarla y utilizarla en algoritmos geométricos.
En el próximo tema emplearemos estas ecuaciones para encontrar la intersección entre dos rectas.