15. Tablas de verdad

15.1 Introducción

Una tabla de verdad muestra el valor final de una proposición compuesta para todas las combinaciones posibles de valores de sus proposiciones simples.

Es una herramienta central de la lógica matemática porque permite estudiar operadores, comparar expresiones y detectar si una fórmula siempre es verdadera, siempre es falsa o depende de los valores de entrada.

15.2 Para qué sirven

Las tablas de verdad sirven para razonar con precisión sobre expresiones lógicas.

• Determinan cuándo una expresión es verdadera o falsa.
• Permiten comparar dos expresiones lógicas.
• Ayudan a encontrar errores en condiciones de programación.
• Permiten reconocer tautologías, contradicciones y contingencias.
• Sirven como base para simplificar expresiones booleanas.

15.3 Cantidad de filas

Si una expresión tiene n proposiciones simples, su tabla de verdad tendrá 2ⁿ filas.

15.4 Tabla para una proposición

La tabla más simple muestra los dos valores posibles de una proposición.

En programación, estos valores se corresponden con true y false.

15.5 Tabla para dos proposiciones

Con dos proposiciones hay cuatro combinaciones posibles.

15.6 Tabla de la negación

La negación invierte el valor de verdad de una proposición.

15.7 Tabla de la conjunción

La conjunción solo es verdadera cuando ambas proposiciones son verdaderas.

15.8 Tabla de la disyunción

La disyunción inclusiva es verdadera cuando al menos una proposición es verdadera.

15.9 Tabla de XOR

La disyunción exclusiva es verdadera cuando exactamente una proposición es verdadera.

15.10 Tabla de la implicación

La implicación solo es falsa cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso.

15.11 Tabla del bicondicional

El bicondicional es verdadero cuando ambas proposiciones tienen el mismo valor de verdad.

15.12 Construir una tabla paso a paso

Para construir una tabla de verdad de una expresión compuesta conviene agregar columnas intermedias.

Ejemplo: ¬p ∨ q.

Esta tabla coincide con la tabla de la implicación p → q, porque p → q equivale a ¬p ∨ q.

15.13 Tablas de verdad en JavaScript

Podemos generar combinaciones booleanas con código para comprobar una expresión.

const valores = [true, false];

for (const p of valores) {
  for (const q of valores) {
    console.log(p, q, p && q);
  }
}

Este código recorre las cuatro combinaciones posibles de p y q.

15.14 Uso en programación

Las tablas de verdad ayudan a comprobar si una condición implementa correctamente una regla.

const esAdmin = true;
const cuentaActiva = false;

const puedeAcceder = esAdmin && cuentaActiva;

console.log(puedeAcceder);

Si la regla exige que ambas condiciones sean verdaderas, la tabla de la conjunción confirma que el acceso debe rechazarse cuando una de ellas es falsa.

15.15 Errores comunes

• Olvidar alguna combinación de valores al armar la tabla.
• No agregar columnas intermedias para expresiones compuestas.
• Confundir la tabla de OR con la tabla de XOR.
• Recordar mal la tabla de la implicación.
• Evaluar operadores sin respetar paréntesis y precedencia.

15.16 Qué debes recordar de este tema

• Una tabla de verdad muestra todas las combinaciones posibles de valores.
• Con n proposiciones simples hay 2ⁿ filas.
• Las columnas intermedias ayudan a evaluar expresiones compuestas.
• Las tablas permiten comparar expresiones y detectar equivalencias.
• En programación, sirven para revisar condiciones y reglas de decisión.

15.17 Conclusión

Las tablas de verdad son una herramienta precisa para analizar expresiones lógicas. Permiten ver todos los casos posibles y entender el comportamiento de cada operador.

En el próximo tema estudiaremos cómo evaluar expresiones mediante tablas de verdad.