16. Evaluación de expresiones mediante tablas de verdad

16.1 Introducción

Una tabla de verdad no solo muestra los operadores básicos. También permite evaluar expresiones compuestas, incluso cuando tienen varias proposiciones, negaciones, paréntesis y operadores diferentes.

La clave es dividir la expresión en partes más pequeñas y evaluarlas en columnas intermedias.

16.2 Método general

Para evaluar una expresión mediante una tabla de verdad, seguiremos estos pasos:

1. Identificar las proposiciones simples.
2. Calcular la cantidad de filas con 2ⁿ.
3. Completar todas las combinaciones de valores.
4. Agregar columnas para subexpresiones.
5. Evaluar las columnas respetando paréntesis y precedencia.
6. Observar la columna final.

16.3 Ejemplo inicial

Evaluemos la expresión:

La expresión tiene dos proposiciones simples: p y q. Por lo tanto, la tabla tiene 2² = 4 filas.

16.4 Tabla de ¬p ∨ q

La columna final es falsa solo cuando p es verdadera y q es falsa.

16.5 Evaluar una expresión con paréntesis

Ahora evaluemos:

La expresión tiene tres proposiciones simples: p, q y r. La tabla tendrá 2³ = 8 filas.

16.6 Tabla de (p ∨ q) ∧ ¬r

La expresión final es verdadera cuando se cumple p ∨ q y además r es falsa.

16.7 Importancia de las columnas intermedias

Las columnas intermedias reducen errores. En lugar de intentar evaluar toda la expresión de una vez, se evalúa cada parte.

Esta técnica se vuelve más importante a medida que las expresiones crecen.

16.8 Evaluar una implicación compuesta

Consideremos la expresión:

Primero evaluamos p ∧ q. Luego usamos ese resultado como antecedente de la implicación.

La expresión solo es falsa cuando p ∧ q es verdadera y r es falsa.

16.9 Comparar dos expresiones

Las tablas de verdad también permiten verificar si dos expresiones son equivalentes. Comparemos:

Como las columnas finales coinciden en todas las filas, las expresiones son equivalentes.

16.10 Evaluación en JavaScript

Podemos reproducir una tabla de verdad con código para comprobar una expresión.

const valores = [true, false];

for (const p of valores) {
  for (const q of valores) {
    const expresion = !p || q;
    console.log({ p, q, expresion });
  }
}

Este programa evalúa ¬p ∨ q para las cuatro combinaciones posibles de p y q.

16.11 Evaluar una regla de programación

Supongamos esta regla:

La expresión lógica es:

Donde:

• p: Es administrador.
• q: Es autor.
• r: El documento está bloqueado.

Una tabla de verdad permitiría revisar todos los casos posibles de acceso.

16.12 Tabla parcial de la regla

Mostremos algunos casos representativos de p ∨ (q ∧ ¬r):

Esta tabla parcial ya permite ver casos importantes: administrador, autor con documento libre, autor con documento bloqueado y usuario sin permisos.

16.13 Detectar errores con tablas

Comparemos dos expresiones parecidas:

No son equivalentes. En la primera, un administrador puede editar aunque el documento esté bloqueado. En la segunda, nadie puede editar si el documento está bloqueado.

Una tabla de verdad muestra exactamente en qué filas difieren.

16.14 Buenas prácticas

• Agrega una columna por cada subexpresión importante.
• Respeta los paréntesis antes de aplicar precedencia.
• Evalúa una sola operación por columna cuando la expresión sea compleja.
• Compara columnas finales para comprobar equivalencias.
• Usa tablas para revisar reglas críticas de permisos, pagos o validaciones.

16.15 Errores comunes

• Omitir columnas intermedias y equivocarse en la evaluación final.
• Completar mal las combinaciones de valores iniciales.
• No respetar paréntesis.
• Confundir una expresión similar con una expresión equivalente.
• No revisar las filas donde la expresión final cambia de valor.

16.16 Qué debes recordar de este tema

• Evaluar con tablas de verdad implica revisar todos los casos posibles.
• Las columnas intermedias son esenciales para expresiones compuestas.
• Dos expresiones son equivalentes si sus columnas finales coinciden en todas las filas.
• Las tablas ayudan a detectar errores de agrupación y de operadores.
• En programación, son útiles para validar condiciones críticas.

16.17 Conclusión

Las tablas de verdad permiten evaluar expresiones lógicas de forma sistemática. Al dividir una expresión en partes, se reduce la posibilidad de errores y se obtiene una visión completa de su comportamiento.

En el próximo tema estudiaremos las tautologías.