38. Demostraciones lógicas básicas

38.1 Introducción

Una demostración lógica es una secuencia ordenada de pasos. Cada paso debe estar justificado por una premisa, una regla de inferencia o una equivalencia lógica.

El objetivo es llegar a una conclusión sin saltos injustificados.

38.2 Qué contiene una demostración

Una demostración básica suele incluir:

• Premisas iniciales.
• Objetivo o conclusión que se quiere demostrar.
• Pasos intermedios.
• Justificación de cada paso.

38.3 Formato de demostración

Podemos escribir una demostración numerando cada línea.

38.4 Ejemplo con Modus Ponens

Demostrar q a partir de:

Demostración:

38.5 Ejemplo con Modus Tollens

Demostrar ¬p a partir de:

38.6 Ejemplo con silogismo hipotético

Demostrar p → r a partir de:

38.7 Ejemplo combinando reglas

Demostrar r a partir de:

38.8 Ejemplo con silogismo disyuntivo

Demostrar q a partir de:

38.9 Demostraciones con equivalencias

También podemos usar equivalencias lógicas para transformar expresiones.

Demostrar que ¬(p ∧ q) equivale a ¬p ∨ ¬q:

38.10 Relación con programación

Una demostración lógica se parece a justificar por qué un flujo de código produce cierto resultado.

const pagoAprobado = true;

if (pagoAprobado) {
  const pedidoGenerado = true;

  if (pedidoGenerado) {
    console.log("Enviar confirmación");
  }
}

Podemos justificar el flujo con reglas: si el pago fue aprobado, se genera pedido; si se genera pedido, se envía confirmación.

38.11 Justificar cada paso

En una demostración, cada línea debe estar respaldada. Las justificaciones pueden ser:

• Premisa.
• Modus Ponens.
• Modus Tollens.
• Silogismo hipotético.
• Silogismo disyuntivo.
• Equivalencia lógica.

38.12 Estrategia para demostrar

Una estrategia práctica es:

1. Escribir las premisas.
2. Escribir la conclusión objetivo.
3. Buscar implicaciones que puedan usarse con Modus Ponens o Modus Tollens.
4. Buscar cadenas de implicaciones.
5. Usar equivalencias para transformar expresiones cuando sea necesario.
6. Justificar cada paso.

38.13 Errores comunes

• Escribir una conclusión sin justificarla.
• Usar una regla de inferencia con una forma incorrecta.
• Confundir una equivalencia con una inferencia.
• Omitir pasos intermedios importantes.
• No indicar de qué líneas se obtiene cada conclusión.

38.14 Demostración y verificación

Las demostraciones ayudan a verificar que una conclusión no depende de intuición, sino de reglas válidas.

38.15 Qué debes recordar de este tema

• Una demostración lógica es una secuencia de pasos justificados.
• Cada paso debe venir de una premisa, una inferencia válida o una equivalencia.
• Las reglas de inferencia permiten obtener nuevas proposiciones.
• Las equivalencias permiten transformar expresiones.
• Una buena demostración evita saltos y deja clara la razón de cada línea.

38.16 Conclusión

Las demostraciones lógicas básicas integran todo lo aprendido sobre proposiciones, operadores, equivalencias y reglas de inferencia. Permiten justificar conclusiones de forma ordenada y verificable.

En el próximo tema introduciremos la lógica de predicados.