47. Álgebra booleana

El álgebra booleana trabaja con valores verdadero/falso o 1/0 y operaciones lógicas como AND, OR y NOT. Es una base directa de la programación y los circuitos digitales.

47.1 Introducción

El álgebra booleana es una estructura matemática que permite operar con valores lógicos. Fue desarrollada por George Boole y se volvió fundamental para la computación moderna.

En lugar de trabajar con muchos números posibles, el álgebra booleana trabaja con dos valores: verdadero y falso, o 1 y 0.

47.2 Valores booleanos

Los valores básicos del álgebra booleana son:

Lógica Álgebra booleana JavaScript
Verdadero 1 true
Falso 0 false

47.3 Operaciones básicas

Las operaciones booleanas principales son:

Operación Lógica JavaScript Idea
NOT ¬p !p Invierte el valor
AND p ∧ q p && q Verdadero si ambos son verdaderos
OR p ∨ q p || q Verdadero si al menos uno es verdadero

47.4 Tabla de NOT

p ¬p
1 0
0 1

47.5 Tabla de AND

p q p ∧ q
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 0

47.6 Tabla de OR

p q p ∨ q
1 1 1
1 0 1
0 1 1
0 0 0

47.7 Leyes booleanas

Las leyes que estudiamos como equivalencias lógicas también forman parte del álgebra booleana.

Ley Forma booleana
Identidad p ∧ 1 = p, p ∨ 0 = p
Dominación p ∧ 0 = 0, p ∨ 1 = 1
Idempotencia p ∧ p = p, p ∨ p = p
Complemento p ∧ ¬p = 0, p ∨ ¬p = 1

47.8 Álgebra booleana en JavaScript

En programación usamos álgebra booleana cada vez que combinamos condiciones.

const hayStock = true;
const pagoAprobado = false;

const puedeComprar = hayStock && pagoAprobado;

console.log(puedeComprar);

La variable puedeComprar almacena el resultado de una operación booleana.

47.9 Álgebra booleana y bits

Las computadoras representan información usando bits. Un bit puede tomar dos valores: 0 o 1.

0 puede interpretarse como falso.
1 puede interpretarse como verdadero.

Esta relación conecta directamente el álgebra booleana con el funcionamiento interno de las computadoras.

47.10 Álgebra booleana y circuitos

Los circuitos digitales usan puertas lógicas para implementar operaciones booleanas.

  • Una puerta AND implementa conjunción.
  • Una puerta OR implementa disyunción.
  • Una puerta NOT implementa negación.

Más adelante veremos estas puertas con detalle.

47.11 Expresiones booleanas

Una expresión booleana combina variables booleanas y operaciones.

(p ∧ q) ∨ ¬r

En JavaScript:

const resultado = (p && q) || !r;

47.12 Simplificación booleana

El álgebra booleana permite simplificar expresiones.

(p ∧ q) ∨ (p ∧ ¬q) = p

Esta simplificación reduce una expresión compleja a una condición más simple.

47.13 Aplicaciones

El álgebra booleana aparece en muchas áreas:

  • Condiciones en programas.
  • Consultas a bases de datos.
  • Diseño de circuitos digitales.
  • Filtros de búsqueda.
  • Permisos y reglas de negocio.
  • Inteligencia artificial simbólica.

47.14 Errores comunes

  • Confundir valores booleanos con números comunes sin considerar el contexto.
  • Olvidar que AND y OR tienen reglas distintas.
  • Confundir OR inclusivo con XOR.
  • No usar paréntesis en expresiones combinadas.
  • Aplicar leyes booleanas a funciones con efectos secundarios sin cuidado.

47.15 Qué debes recordar de este tema

  • El álgebra booleana trabaja con dos valores: 0/1 o falso/verdadero.
  • Sus operaciones básicas son NOT, AND y OR.
  • Las leyes lógicas también pueden escribirse como leyes booleanas.
  • Es base de la programación, los bits y los circuitos digitales.
  • Permite construir y simplificar expresiones booleanas.

47.16 Conclusión

El álgebra booleana conecta la lógica matemática con la computación práctica. Sus valores y operaciones permiten representar decisiones, circuitos y condiciones de programación.

En el próximo tema estudiaremos operaciones booleanas y simplificación.

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