20. Ecuaciones de primer grado

20.1 Introducción

En los temas anteriores evaluamos expresiones sustituyendo variables por valores conocidos. En una ecuación ocurre algo distinto: tenemos una igualdad y queremos encontrar el valor desconocido que la cumple.

Las ecuaciones de primer grado aparecen en programación cuando necesitamos calcular un valor faltante: precio unitario, cantidad necesaria, tiempo requerido, punto de equilibrio, valor original antes de un descuento o una variable dentro de una fórmula.

Aprender a resolverlas ayuda a despejar variables y a transformar problemas en algoritmos.

20.2 Qué es una ecuación

Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones. Tiene un lado izquierdo, un lado derecho y un signo igual.

Resolverla significa encontrar el valor de x que hace verdadera la igualdad.

const x = 4;

console.log(2 * x + 3);
console.log(11);
console.log(2 * x + 3 === 11);

20.3 Qué significa primer grado

Una ecuación es de primer grado cuando la incógnita aparece elevada a la potencia 1. No hay x², raíces de x ni productos entre incógnitas.

20.4 Resolver una ecuación simple

Para resolver x + 5 = 12, debemos dejar la incógnita sola. Si sumamos 5 del lado izquierdo, restamos 5 en ambos lados.

const resultado = 12 - 5;

console.log(resultado);

La regla central es mantener la igualdad: lo que hacemos de un lado, debe compensarse del otro.

20.5 Resolver con multiplicación

Para resolver 3x = 18, dividimos ambos lados por 3.

const x = 18 / 3;

console.log(x);

20.6 Forma general ax + b = c

Muchas ecuaciones de primer grado pueden escribirse como:

Para despejar x, primero restamos b y luego dividimos por a.

function resolverLineal(a, b, c) {
  return (c - b) / a;
}

console.log(resolverLineal(2, 3, 11));
console.log(resolverLineal(5, -4, 21));

20.7 Validar el coeficiente

En la forma ax + b = c, si a es 0, no podemos dividir por a. Ese caso debe tratarse por separado.

function resolverLineal(a, b, c) {
  if (a === 0) {
    return "No es una ecuación lineal con solución única";
  }

  return (c - b) / a;
}

console.log(resolverLineal(2, 3, 11));
console.log(resolverLineal(0, 3, 11));

Validar evita divisiones por cero y resultados engañosos.

20.8 Verificar una solución

Después de resolver una ecuación, podemos verificar la solución sustituyendo el valor encontrado en la ecuación original.

const x = 4;
const ladoIzquierdo = 2 * x + 3;
const ladoDerecho = 11;

console.log(ladoIzquierdo);
console.log(ladoDerecho);
console.log(ladoIzquierdo === ladoDerecho);

Si ambos lados son iguales, la solución es correcta.

20.9 Ecuaciones con paréntesis

Cuando hay paréntesis, primero podemos distribuir o resolver el contenido según convenga.

const x = 14 / 2 - 3;

console.log(x);
console.log(2 * (x + 3));

20.10 Ecuaciones con variables en ambos lados

Si la variable aparece en ambos lados, agrupamos los términos con variable de un lado y las constantes del otro.

const x = (10 - 2) / (3 - 1);

console.log(x);
console.log(3 * x + 2);
console.log(x + 10);

20.11 Aplicación: encontrar precio unitario

Si conocemos el total y la cantidad, podemos resolver el precio unitario.

const total = 4500;
const cantidad = 6;
const precioUnitario = total / cantidad;

console.log(precioUnitario);

20.12 Aplicación: recuperar un valor antes de un descuento

Si conocemos el precio final después de un descuento, podemos encontrar el precio original usando una ecuación.

const precioFinal = 800;
const descuento = 20;
const factor = 1 - descuento / 100;
const precioOriginal = precioFinal / factor;

console.log(precioOriginal);

20.13 Aplicación: punto de equilibrio simple

Un punto de equilibrio simple puede calcular cuántas unidades se necesitan vender para cubrir un costo fijo.

const costoFijo = 50000;
const gananciaPorUnidad = 2500;
const unidadesNecesarias = costoFijo / gananciaPorUnidad;

console.log(unidadesNecesarias);

En casos reales pueden existir costos variables, impuestos y otras condiciones, pero la idea básica es una ecuación de primer grado.

20.14 Casos especiales

Algunas ecuaciones no tienen solución única. Por ejemplo, si a = 0 en ax + b = c, la variable desaparece.

function resolverLineal(a, b, c) {
  if (a === 0 && b === c) {
    return "Infinitas soluciones";
  }

  if (a === 0 && b !== c) {
    return "Sin solución";
  }

  return (c - b) / a;
}

console.log(resolverLineal(2, 3, 11));
console.log(resolverLineal(0, 3, 11));
console.log(resolverLineal(0, 3, 3));

20.15 Errores comunes

• Olvidar aplicar la misma operación a ambos lados de la ecuación.
• Cambiar signos incorrectamente al pasar términos de un lado al otro.
• Dividir por el coeficiente sin verificar que sea distinto de cero.
• No verificar la solución sustituyendo en la ecuación original.
• Confundir una expresión con una ecuación: la ecuación tiene signo igual.
• Omitir paréntesis al traducir el despeje a JavaScript.

const a = 2;
const b = 3;
const c = 11;

const correcto = (c - b) / a;
const incorrecto = c - b / a;

console.log(correcto);
console.log(incorrecto);

20.16 Qué debes recordar de este tema

• Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones.
• Resolver una ecuación significa encontrar el valor que hace verdadera la igualdad.
• Una ecuación de primer grado tiene la incógnita elevada a la potencia 1.
• En la forma ax + b = c, la solución es x = (c - b) / a si a no es cero.
• Conviene verificar la solución sustituyendo el valor encontrado.
• Algunos casos tienen solución única, otros no tienen solución y otros tienen infinitas soluciones.
• Los paréntesis son importantes al traducir despejes a código.

20.17 Conclusión

Las ecuaciones de primer grado permiten encontrar valores desconocidos dentro de relaciones lineales. Son una herramienta básica para despejar variables, recuperar valores originales y resolver problemas prácticos con fórmulas simples.

En el próximo tema estudiaremos sistemas simples de ecuaciones, donde necesitaremos encontrar valores que satisfacen más de una igualdad al mismo tiempo.