Matrices y álgebra lineal - 3. Notación matricial

3.1 Introducción

En el tema anterior aprendimos que una matriz organiza números en filas y columnas. Ahora necesitamos una forma precisa de referirnos a la matriz completa, a su tamaño y a cada uno de sus elementos.

La notación matricial cumple ese propósito. Gracias a ella podemos describir operaciones sin escribir todos los valores y comunicar con claridad qué posición interviene en cada cálculo.

A = [[2, 5, 8],
[1, 4, 7]]

En este ejemplo, A es el nombre de la matriz. Tiene dos filas, tres columnas y seis elementos.

3.2 Cómo se nombra una matriz

Las matrices suelen nombrarse con letras mayúsculas: A, B, C o M. Los elementos individuales suelen representarse con la misma letra en minúscula y dos subíndices.

Matriz completa: A
Elemento de A: a_ij

El subíndice i indica la fila.
El subíndice j indica la columna.

Esta convención no es una obligación del lenguaje de programación, pero es muy útil al traducir fórmulas matemáticas a algoritmos.

3.3 Escritura de una matriz

Una matriz se escribe encerrando sus elementos entre paréntesis o corchetes. Los números de una misma fila se colocan horizontalmente y las filas se ubican una debajo de otra.

A = [ 3 6 9 ]
[ 2 4 8 ]

La misma matriz puede representarse en JavaScript con un arreglo por cada fila:

const A = [
  [3, 6, 9],
  [2, 4, 8]
];

console.log(A);

3.4 Dimensión u orden de una matriz

Si una matriz tiene m filas y n columnas, decimos que su dimensión u orden es m × n. Siempre se escribe primero la cantidad de filas.

A es una matriz de orden 2 × 3.

m = 2 filas
n = 3 columnas
Cantidad total de elementos = m × n = 6

También puede utilizarse la notación A ∈ ℝ^m×n para indicar que A es una matriz de m filas y n columnas cuyos elementos son números reales.

3.5 Calcular la dimensión en JavaScript

En una matriz rectangular representada con arreglos, la cantidad de filas es la longitud del arreglo exterior y la cantidad de columnas es la longitud de una fila.

const A = [
  [3, 6, 9],
  [2, 4, 8]
];

const filas = A.length;
const columnas = A[0].length;

console.log(`${filas} × ${columnas}`);
console.log("Cantidad de elementos:", filas * columnas);

Antes de consultar A[0].length conviene comprobar que la matriz no esté vacía.

3.6 Notación general de los elementos

Una matriz genérica A de orden m × n puede escribirse utilizando símbolos en lugar de valores concretos.

A = [ a₁₁   a₁₂   ...   a_1n ]
    [ a₂₁   a₂₂   ...   a_2n ]
    [ ...     ...     ...     ... ]
    [ a_m1   a_m2   ...   a_mn ]

La expresión A = [a_ij] resume esta idea: A está formada por elementos a_ij, donde i recorre las filas y j recorre las columnas.

3.7 Cómo leer los subíndices

En el elemento a_ij, el primer subíndice siempre corresponde a la fila y el segundo a la columna.

Elemento	Fila	Columna	Lectura
a₁₁	1	1	Primera fila, primera columna
a₁₃	1	3	Primera fila, tercera columna
a₂₁	2	1	Segunda fila, primera columna
a₂₃	2	3	Segunda fila, tercera columna

Los subíndices no forman el número veintitrés: a₂₃ significa el elemento ubicado en la fila 2 y la columna 3.

3.8 Ejemplo de localización de elementos

Consideremos la siguiente matriz:

B = [ 10   20   30 ]
    [ 40   50   60 ]
    [ 70   80   90 ]

b₁₁ = 10
b₁₃ = 30
b₂₂ = 50
b₃₁ = 70
b₃₃ = 90

Cada par de subíndices identifica una única posición dentro de la matriz.

3.9 Índices matemáticos e índices de JavaScript

En la notación matemática se comienza a contar desde 1. En los arreglos de JavaScript se comienza desde 0. Por eso debemos restar uno a cada índice matemático al acceder al arreglo.

Matemática: a_ij
JavaScript: A[i - 1][j - 1]

const B = [
  [10, 20, 30],
  [40, 50, 60],
  [70, 80, 90]
];

console.log("b₂₃ =", B[1][2]);
console.log("b₃₁ =", B[2][0]);

El elemento b₂₃ se encuentra en B[1][2], y el elemento b₃₁ se encuentra en B[2][0].

3.10 Función para obtener a_ij

Podemos crear una función que reciba índices con la convención matemática y realice internamente la conversión a índices de JavaScript.

function elemento(matriz, fila, columna) {
  return matriz[fila - 1][columna - 1];
}

const A = [
  [5, 8, 1],
  [2, 7, 4]
];

console.log("a₁₂ =", elemento(A, 1, 2));
console.log("a₂₃ =", elemento(A, 2, 3));

La función permite escribir elemento(A, 2, 3) para pedir el elemento de la segunda fila y la tercera columna.

3.11 Notación de las filas

Una fila de una matriz puede considerarse un vector fila. La fila i contiene todos los elementos cuyo primer subíndice es i.

Fila i de A = [a_i1, a_i2, ..., a_in]

En JavaScript, cada elemento del arreglo exterior ya representa una fila completa.

const A = [
  [5, 8, 1],
  [2, 7, 4],
  [9, 3, 6]
];

const segundaFila = A[1];

console.log(segundaFila);

El resultado es [2, 7, 4].

3.12 Notación de las columnas

La columna j contiene todos los elementos cuyo segundo subíndice es j.

Columna j de A = [a_1j, a_2j, ..., a_mj]^T

El símbolo T indica que los componentes se disponen verticalmente. Con arreglos de JavaScript debemos extraer la misma posición de cada fila.

const A = [
  [5, 8, 1],
  [2, 7, 4],
  [9, 3, 6]
];

const indiceColumna = 1;
const segundaColumna = A.map(fila => fila[indiceColumna]);

console.log(segundaColumna);

El resultado es [8, 7, 3].

3.13 Notación de vectores

Los vectores suelen nombrarse con letras minúsculas, a veces en negrita o con una flecha: v, u o w. Sus componentes pueden escribirse como v₁, v₂, ..., v_n.

v = [v₁, v₂, ..., v_n]

Si v = [4, 7, 2], entonces:
v₁ = 4, v₂ = 7 y v₃ = 2.

Cuando un vector se escribe como columna, puede considerarse una matriz de orden n × 1. Cuando se escribe como fila, puede considerarse una matriz de orden 1 × n.

3.14 Diagonal principal y diagonal secundaria

En una matriz cuadrada, la diagonal principal está formada por los elementos cuyos índices son iguales: a₁₁, a₂₂, a₃₃, etc.

La diagonal secundaria recorre la matriz desde la esquina superior derecha hasta la esquina inferior izquierda.

A = [ 1   2   3 ]
    [ 4   5   6 ]
    [ 7   8   9 ]

Diagonal principal: [1, 5, 9]
Diagonal secundaria: [3, 5, 7]

const A = [
  [1, 2, 3],
  [4, 5, 6],
  [7, 8, 9]
];

const principal = A.map((fila, i) => fila[i]);
const secundaria = A.map((fila, i) => fila[A.length - 1 - i]);

console.log("Principal:", principal);
console.log("Secundaria:", secundaria);

3.15 Notación de operaciones matriciales

Las letras permiten expresar operaciones entre matrices sin mostrar todos sus elementos. Algunas notaciones que utilizaremos son:

A + B: suma de matrices.
A - B: resta de matrices.
kA: multiplicación de la matriz A por el escalar k.
AB: multiplicación de las matrices A y B.
A^T: transpuesta de A.
A^-1: inversa de A, cuando existe.
det(A): determinante de A.

const A = [
  [1, 2],
  [3, 4]
];
const k = 5;

const kA = A.map(fila =>
  fila.map(valor => k * valor)
);

console.log(kA);

La expresión matemática kA se traduce en multiplicar cada elemento a_ij por k.

3.16 El símbolo de sumatoria

La letra griega sigma mayúscula, Σ, representa una suma de términos que siguen un patrón. Es muy frecuente en productos escalares y multiplicaciones de matrices.

Σ desde k = 1 hasta n de a_kb_k

Para n = 3:
a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃

const a = [2, 4, 6];
const b = [1, 3, 5];

const sumaDeProductos = a.reduce(
  (acumulador, valor, k) => acumulador + valor * b[k],
  0
);

console.log(sumaDeProductos);

El índice k del código cumple el papel del índice de la sumatoria, con la diferencia de que JavaScript comienza a contar desde cero.

3.17 Validar la estructura de una matriz

La notación m × n supone que todas las filas tienen la misma cantidad de columnas. Podemos crear una función que compruebe esta condición y devuelva el orden.

function obtenerOrden(matriz) {
  if (matriz.length === 0) return [0, 0];

  const columnas = matriz[0].length;
  const esRectangular = matriz.every(fila => fila.length === columnas);

  if (!esRectangular) {
    throw new Error("Todas las filas deben tener igual longitud");
  }

  return [matriz.length, columnas];
}

console.log(obtenerOrden([[1, 2, 3], [4, 5, 6]]));

El resultado [2, 3] indica dos filas y tres columnas.

3.18 Errores frecuentes de notación

Escribir primero las columnas y después las filas al indicar el orden.
Confundir a₂₃ con a₃₂.
Interpretar los subíndices como un único número.
Olvidar que la notación matemática comienza en 1 y JavaScript en 0.
Llamar matriz rectangular a un arreglo con filas de distintas longitudes.
Confundir el producto AB con una multiplicación elemento por elemento.
Usar A^-1 como si significara dividir cada elemento por A.

Regla práctica: al leer a_ij, piensa siempre “fila i, columna j”.

3.19 Qué debes recordar de este tema

Las matrices suelen nombrarse con letras mayúsculas.
El elemento a_ij está en la fila i y la columna j de A.
Una matriz de orden m × n tiene m filas y n columnas.
La notación matemática comienza a contar desde 1, mientras que los arreglos de JavaScript comienzan desde 0.
Una fila o una columna puede interpretarse como un vector.
Los elementos a_ii forman la diagonal principal.
La notación compacta permite describir operaciones generales y convertirlas en algoritmos.

3.20 Conclusión

Dominar esta notación facilita la lectura de fórmulas, la implementación de operaciones y la detección de errores de dimensiones o índices.

En el próximo tema estudiaremos los distintos tipos de matrices y aprenderemos a clasificarlas según su forma y sus elementos.

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3. Notación matricial