La probabilidad de la unión mide la posibilidad de que ocurra A, ocurra B o ocurran ambos. Cuando los eventos se superponen, debemos corregir el conteo doble de la intersección.
Muchas preguntas probabilísticas tienen la forma “¿qué probabilidad hay de que ocurra A o B?”. Por ejemplo, que un paquete llegue tarde o se pierda, que un cliente compre un producto o contrate un servicio, o que un número sea par o múltiplo de 3.
La unión A ∪ B reúne todos los resultados que pertenecen al menos a uno de los eventos. Para calcular su probabilidad debemos analizar si los eventos comparten resultados.
La unión de A y B contiene los resultados que pertenecen a A, a B o a ambos:
El “o” de la unión es inclusivo: un resultado que pertenece a los dos eventos también forma parte de la unión.
Si A y B no comparten resultados, son disjuntos o mutuamente excluyentes. En ese caso A ∩ B = ∅ y la probabilidad de la unión se obtiene sumando:
Al lanzar un dado, los eventos “obtener un número par” y “obtener un número impar” son disjuntos. En un único lanzamiento no pueden ocurrir simultáneamente.
Cuando A y B comparten resultados, sumar P(A) y P(B) cuenta dos veces la intersección. Para corregirlo restamos P(A ∩ B):
Ejemplo:
La fórmula de la unión se entiende mejor separando las regiones:
| Región | Aporta a A | Aporta a B | Aporta a A ∪ B |
|---|---|---|---|
| Solo A | Sí | No | Una vez |
| Solo B | No | Sí | Una vez |
| A ∩ B | Sí | Sí | Una vez, tras corregir |
| Fuera de ambos | No | No | No participa |
Sea A = “obtener un número par” y B = “obtener un número mayor que 3”:
Si sumáramos las cantidades de A y B obtendríamos 3 + 3 = 6, pero 4 y 6 aparecen en ambos conjuntos. Por eso debemos restar 2.
La unión no puede tener una probabilidad menor que cualquiera de sus eventos:
Tampoco puede superar 1. Una estimación que produzca P(A ∪ B) > 1 indica que los valores o el conteo son incompatibles.
El gráfico representa una urna de 12 resultados y separa los casos exclusivos de A, los exclusivos de B y los casos compartidos. Al cambiar el escenario se puede observar cuánto debe corregirse la suma ingenua.
La parte naranja indica los resultados compartidos. Son los que se cuentan en A y en B, pero solo una vez en A ∪ B.
Podemos construir la unión sin duplicados usando un conjunto:
function unionEventos(A, B) {
return [...new Set([...A, ...B])];
}
function probabilidadUnion(espacio, A, B) {
const union = unionEventos(A, B);
return union.length / espacio.length;
}
console.log(probabilidadUnion(
[1, 2, 3, 4, 5, 6],
[2, 4, 6],
[4, 5, 6]
)); // 0.666...Elegiremos al azar un resultado del espacio muestral y comprobaremos si pertenece a A ∪ B. La frecuencia simulada se compara con la fórmula de inclusión-exclusión.
La misma idea puede extenderse a tres eventos, aunque aparecen más intersecciones y debemos aplicar inclusión-exclusión con cuidado:
La intersección triple se suma al final porque había sido restada demasiadas veces en los pasos anteriores.
Calcular la probabilidad de una unión exige distinguir entre eventos disjuntos y eventos que se superponen. La fórmula de inclusión-exclusión corrige de manera precisa el conteo doble de la intersección.
En el próximo tema estudiaremos la probabilidad de la intersección de eventos y las distintas formas de calcularla.