Dos eventos son dependientes cuando la ocurrencia de uno modifica la probabilidad del otro. La extracción sin reposición de una urna es un ejemplo clásico de esta situación.
Si extraemos una ficha de una urna y no la devolvemos, la composición de la urna cambia. La segunda extracción se realiza bajo condiciones diferentes a las de la primera.
Cuando el resultado de un evento aporta información sobre otro, decimos que los eventos son dependientes. Para calcular su probabilidad necesitamos tener en cuenta esa información adicional.
La dependencia se expresa comparando la probabilidad de B antes y después de conocer que ocurrió A:
La notación P(B | A) significa “probabilidad de B dado que A ocurrió”. El evento A modifica el conjunto de posibilidades o la información disponible para B.
Para eventos dependientes, la probabilidad de que ocurran ambos se calcula como:
Primero calculamos la probabilidad de A. Después calculamos la probabilidad de B bajo la condición de que A ya ocurrió.
Una urna contiene 5 fichas rojas y 3 azules. Extraemos dos fichas sin devolver la primera. Sea A = “la primera es roja” y B = “la segunda es roja”.
Después de extraer una ficha roja quedan 4 rojas y 7 fichas en total. Esa modificación explica la dependencia.
| Procedimiento | ¿Cambia la urna? | Probabilidad de segunda roja | Tipo de relación |
|---|---|---|---|
| Con reposición | No | 5/8 | Independiente |
| Sin reposición, primera roja | Sí | 4/7 | Dependiente |
| Sin reposición, primera azul | Sí | 5/7 | Dependiente |
Un árbol representa las etapas de un experimento compuesto. Cada rama muestra una probabilidad condicional y cada camino completo representa una combinación de resultados.
La probabilidad de un camino se obtiene multiplicando las probabilidades de sus ramas. Las probabilidades de caminos que describen un mismo evento se suman.
El siguiente gráfico muestra las ramas de dos extracciones de una urna con 5 fichas rojas y 3 azules. Cambia el procedimiento para observar cómo varían las probabilidades de la segunda extracción.
En el modo sin reposición, las ramas posteriores dependen del color de la primera ficha. En el modo con reposición, las probabilidades se mantienen iguales.
Para calcular la probabilidad de obtener una segunda ficha roja podemos considerar los dos posibles resultados de la primera:
En la extracción sin reposición:
Aunque las probabilidades condicionales cambian, la probabilidad marginal de la segunda ficha coincide con la proporción inicial cuando cada posición tiene el mismo tratamiento.
Podemos simular una extracción sin reposición eliminando el elemento seleccionado del arreglo:
function extraerSinReposicion(urna) {
const indice = Math.floor(Math.random() * urna.length);
const [ficha] = urna.splice(indice, 1);
return ficha;
}
const urna = ['R', 'R', 'R', 'R', 'R', 'A', 'A', 'A'];
const primera = extraerSinReposicion(urna);
const segunda = extraerSinReposicion(urna);
console.log(primera, segunda);Repetiremos dos extracciones y mediremos cuántas veces salen dos fichas rojas. Compararemos el resultado con la probabilidad teórica de cada procedimiento.
La dependencia puede surgir por el procedimiento de muestreo, por una causa común o por la evolución del sistema.
Los eventos dependientes requieren actualizar las probabilidades cuando cambia la información o el estado del experimento. La probabilidad condicional y los árboles de probabilidad permiten representar esa actualización con claridad.
En el próximo tema estudiaremos formalmente la probabilidad condicional y su interpretación.