La probabilidad total permite calcular la probabilidad de un evento cuando el espacio muestral puede dividirse en varios casos o escenarios. Se calcula sumando las probabilidades de cada ruta posible.
Supongamos que un resultado puede provenir de varias categorías: una máquina, un canal, un grupo de clientes o una causa. Si esas categorías cubren todo el espacio muestral y no se superponen, forman una partición.
Cada término es la probabilidad de recorrer una ruta completa: llegar a Hᵢ y luego observar E. La probabilidad total suma todas las rutas que terminan en E.
Los eventos H₁, H₂, ..., Hₙ deben ser disjuntos dos a dos y cubrir el espacio muestral:
Si una categoría falta o dos categorías se superponen, las rutas pueden omitirse o contabilizarse dos veces.
Una empresa produce en las fábricas A, B y C el 50%, 30% y 20% de sus artículos. Sus tasas de defecto son 2%, 5% y 8%, respectivamente. Si E significa “el artículo es defectuoso”:
Por lo tanto, la probabilidad total de defecto es 4,1%. No es correcto promediar las tres tasas sin tener en cuenta cuánto produce cada fábrica.
La primera bifurcación representa la partición y la segunda indica si ocurre E o su complemento. Se multiplican las ramas de cada ruta y se suman las rutas que terminan en E.
Si tres proveedores aportan la misma cantidad de productos y sus probabilidades de retraso son 1%, 4% y 7%, la probabilidad total de retraso es:
En este caso el promedio simple coincide con la probabilidad total porque las probabilidades de elegir cada proveedor son iguales.
Dentro de cada escenario, E y Ec son complementarios. Por eso P(Ec|Hᵢ)=1−P(E|Hᵢ), y también podemos calcular:
La suma de las rutas que terminan en E y las que terminan en Ec siempre debe ser 1.
La probabilidad total usa la regla del producto en cada ruta: P(Hᵢ ∩ E)=P(Hᵢ)P(E|Hᵢ). Después aplica la regla de la suma para juntar rutas alternativas. Es una combinación de ambos principios.
La probabilidad total se implementa sumando cada ruta: peso del escenario por probabilidad condicionada del evento.
function probabilidadTotal(escenarios) {
return escenarios.reduce(
(total, escenario) => total + escenario.peso * escenario.tasa,
0
);
}
const resultado = probabilidadTotal([
{peso: 0.4, tasa: 0.1},
{peso: 0.6, tasa: 0.2}
]);
console.log(resultado); // 0.16Cada objeto representa una ruta de la partición. Pulsa Ejecutar para comprobar la suma ponderada.
Cada ensayo primero elige un escenario según sus proporciones y luego decide si ocurre E con la tasa propia de ese escenario. La frecuencia final de E se compara con la suma teórica de las rutas.
Usar una sola probabilidad condicional para todos los escenarios puede producir un resultado sesgado. La información de la categoría importa: dos grupos con distinta frecuencia o distinto riesgo no deben tratarse como si fueran iguales.
La probabilidad total aparece en confiabilidad de sistemas, análisis de fraude, redes, medicina, clasificación automática y control de calidad. En cada caso se enumeran las causas o grupos posibles y se combinan sus contribuciones.
Cuando una partición H₁,...,Hₙ organiza el espacio muestral, la probabilidad total de E es la suma de los productos P(Hᵢ)P(E|Hᵢ). Cada producto representa una ruta y las rutas se combinan mediante una suma ponderada.
La probabilidad total permite mirar un evento desde todos sus escenarios posibles. Es una herramienta fundamental para combinar probabilidades condicionales cuando existen varias causas o categorías.