El teorema de Bayes permite actualizar la probabilidad de una hipótesis cuando aparece nueva evidencia. Su aporte central es distinguir entre la probabilidad de observar una evidencia dada una hipótesis y la probabilidad de la hipótesis dada la evidencia.
Muchas situaciones comienzan con una pregunta inversa. Sabemos que una prueba dio positivo y queremos estimar la probabilidad de que la condición realmente esté presente. Esa pregunta es distinta de conocer la probabilidad de un positivo cuando la condición sí está presente.
El denominador P(E) normaliza el resultado. Si H y su complemento Hc forman una partición, la probabilidad total de la evidencia es:
En general, P(E|H) no es igual a P(H|E). Una prueba puede detectar muy bien una condición y, aun así, un positivo no implicar una probabilidad posterior alta si la condición es poco frecuente.
Bayes conecta ambas cantidades usando el prior y la frecuencia total de la evidencia.
Supongamos una prevalencia de 1%, una sensibilidad de 90% y una tasa de falso positivo de 5%. Para una persona con resultado positivo:
Aunque la prueba detecta 90% de los casos reales, la mayoría de los positivos restantes provienen del grupo mucho más numeroso que no presenta la condición.
En una población hipotética de 10.000 personas, cerca de 100 tendrían la condición. Aproximadamente 90 de ellas darían positivo; entre las 9.900 restantes, unas 495 también darían positivo por falso positivo. Por eso hay 585 positivos y solo 90 casos reales entre ellos: 90/585 ≈ 15,4%.
Bayes puede interpretarse como una actualización:
Si la evidencia es mucho más probable bajo H que bajo Hc, el posterior aumenta. Si es común en ambos grupos, aporta poca información para distinguirlos.
La razón P(E|H)/P(E|Hc) indica cuánto favorece la evidencia a H frente a su complemento. Una razón grande aumenta las probabilidades relativas de la hipótesis; una razón cercana a 1 apenas cambia la creencia.
Podemos calcular la probabilidad posterior separando el prior, la verosimilitud y la probabilidad total de la evidencia:
function bayes(prior, evidenciaDadoHipotesis, probEvidencia) {
return prior * evidenciaDadoHipotesis / probEvidencia;
}
const posterior = bayes(0.01, 0.9, 0.0585);
console.log(posterior); // aproximadamente 0.154El denominador debe incluir todos los caminos que producen la evidencia. Pulsa Ejecutar para obtener la probabilidad posterior.
La simulación genera primero la condición real según el prior y luego el resultado de la prueba según la sensibilidad o la tasa de falsos positivos. La frecuencia de casos reales entre los positivos se aproxima a P(H|E).
Si existen H₁, H₂, ..., Hₙ, el teorema se extiende a:
El denominador suma la contribución de todas las hipótesis posibles.
Los filtros de spam, clasificadores, diagnóstico de fallas, detección de intrusiones y sistemas de recomendación actualizan hipótesis a partir de observaciones. El resultado depende tanto de la evidencia como de la frecuencia inicial de cada caso.
El teorema de Bayes invierte una probabilidad condicional mediante la probabilidad previa y la probabilidad total de la evidencia: P(H|E)=P(H)P(E|H)/P(E). No debes confundir P(H|E) con P(E|H).
Bayes ofrece una forma rigurosa de aprender de la evidencia. La misma observación puede tener significados distintos según la frecuencia inicial de las hipótesis y el rendimiento del procedimiento que la produjo.