28. Función de probabilidad

La función de probabilidad describe cómo se distribuyen las probabilidades entre los valores de una variable aleatoria discreta. Es una forma precisa de pasar de “qué valores puede tomar X” a “con qué probabilidad toma cada uno”.

28.1 Definición

Para una variable aleatoria discreta X, su función de probabilidad se define como:

pX(x)=P(X=x)

La función asigna una probabilidad a cada valor posible x. Si x no pertenece al conjunto de valores de X, entonces pX(x)=0.

Entrada xUn valor posible de la variable.
Salida p(x)La probabilidad de obtener exactamente ese valor.
No negativap(x) nunca puede ser menor que cero.
NormalizadaLa suma de todas las probabilidades es 1.

28.2 Condiciones de una función válida

pX(x) ≥ 0    y    Σx pX(x)=1

Estas condiciones permiten verificar si una tabla realmente representa una distribución de probabilidad. No basta con listar valores: sus probabilidades deben ser coherentes.

28.3 Leer una tabla

Una tabla puede tener una fila para los valores de X y otra para p(x). Por ejemplo, para una variable Bernoulli equilibrada:

x: 0, 1     p(x): 0,5; 0,5

La probabilidad de un conjunto de valores se obtiene sumando las entradas correspondientes.

28.4 Probabilidad de un evento expresado con X

Si queremos calcular P(X∈A), reunimos todos los valores de A:

P(X∈A)=Σx∈ApX(x)

En un dado, P(X es par)=p(2)+p(4)+p(6)=3/6.

28.5 Ejemplo: distribución binomial pequeña

Si X cuenta las caras obtenidas en tres lanzamientos de una moneda equilibrada, la función es:

p(0)=1/8,   p(1)=3/8,   p(2)=3/8,   p(3)=1/8

El valor 1 no es equiprobable con el valor 0 porque existen tres secuencias con una cara y solo una secuencia sin caras.

28.6 Gráfico interactivo de p(x)

En este explorador, cada barra representa una entrada de la función. La etiqueta superior muestra el valor teórico y la suma de las barras se comprueba automáticamente.

Tabla visual de la función de probabilidad

Función de probabilidadGráfico de barras de p de x.

28.7 Funciones no válidas

Una lista como p(0)=0,2, p(1)=0,4 y p(2)=0,7 no es válida porque suma 1,3. Tampoco es válida una tabla con una probabilidad negativa. La normalización es una comprobación sencilla antes de usar un modelo.

28.8 Función de probabilidad en JavaScript

Podemos construir una función que consulte la probabilidad de un valor y devuelva cero cuando ese valor no está definido:

const probabilidades = new Map([
  [0, 0.25], [1, 0.5], [2, 0.25]
]);
function p(x) { return probabilidades.get(x) ?? 0; }

console.log(p(1)); // 0.5
console.log(p(7)); // 0

Esta representación permite consultar valores puntuales. Pulsa Ejecutar para probar el modelo.

28.9 Simulación y aproximación frecuentista

Comparar p(x) con frecuencias

La simulación genera observaciones según la función elegida. Las frecuencias relativas no coinciden exactamente con p(x) en una muestra pequeña, pero tienden a aproximarse al repetir muchas veces.

28.9 Esperanza a partir de p(x)

Una vez conocida la función de probabilidad, podemos calcular resúmenes numéricos. La esperanza se obtiene ponderando cada valor por su probabilidad:

E(X)=Σxx·pX(x)

La esperanza se estudiará con detalle más adelante.

28.10 Función y espacio muestral

La función de probabilidad resume los resultados originales. Si varios resultados producen el mismo valor de X, sus probabilidades se suman para obtener p(x).

28.11 Aplicaciones

Una función de probabilidad permite modelar conteos, éxitos, fallas, cantidades de clientes y resultados de algoritmos. También sirve como entrada para cálculos de esperanza, varianza y simulación.

28.12 Errores frecuentes

  • Confundir p(x) con el valor x.
  • Usar probabilidades que no suman 1.
  • Suponer que toda función de probabilidad es uniforme.
  • Interpretar una frecuencia de una muestra como si fuera el valor exacto de p(x).

28.13 Qué debes recordar de este tema

La función pX(x)=P(X=x) asigna probabilidades a los valores de una variable discreta. Sus entradas deben ser no negativas y sumar 1; con ella podemos calcular eventos y construir simulaciones.

28.14 Conclusión

La función de probabilidad es la descripción completa de una variable aleatoria discreta. Sus tablas y gráficos permiten calcular eventos y construir modelos que pueden analizarse o simularse.

Volver al índice