Probabilidad - 29. Función de distribución acumulada

29.1 Definición

La función de distribución acumulada, o CDF, de una variable aleatoria X es:

F_X(x)=P(X≤x)

Para cada número x, F(x) acumula todas las probabilidades de valores menores o iguales que x.

AcumuladaVa sumando probabilidades desde la izquierda.

Entre 0 y 1Siempre representa una probabilidad.

No decreceNunca disminuye al aumentar x.

Límite finalSe aproxima a 1 cuando se incluyen todos los valores.

29.2 Ejemplo con un dado

Para un dado equilibrado, F(3)=P(X≤3)=3/6=0,5. En cambio, F(5)=5/6. La función salta en cada valor posible y permanece constante entre dos resultados consecutivos.

F(3)=p(1)+p(2)+p(3)=1/6+1/6+1/6=1/2

29.3 Gráfica escalonada

En una variable discreta, la CDF se representa como una función escalonada: cada salto tiene el tamaño de p(x). La altura después del salto es la probabilidad acumulada.

29.4 Relación con la función de probabilidad

La función acumulada se obtiene sumando la función de probabilidad:

F(x)=Σ_t≤xp(t)

También podemos recuperar una probabilidad puntual mediante la diferencia entre saltos consecutivos: p(x)=F(x)−F(x⁻).

29.5 Probabilidad de un intervalo

La CDF permite calcular probabilidades entre dos valores:

P(a<X≤b)=F(b)−F(a)

La resta elimina la parte acumulada hasta a y conserva la probabilidad entre ambos límites.

29.6 Explorador de la distribución acumulada

Selecciona un modelo y mueve el valor de consulta. El punto rojo indica F(q)=P(X≤q), mientras que la línea escalonada muestra cómo se acumula la probabilidad.

Gráfico interactivo de F(x)

Modelo:q:

29.7 Propiedades de F(x)

0≤F(x)≤1.
F(x) es no decreciente.
Si x crece sin límite, F(x) tiende a 1.
Si x decrece sin límite, F(x) tiende a 0.

Estas propiedades permiten detectar si una gráfica puede representar una distribución acumulada.

29.8 Distribución acumulada en JavaScript

La función acumulada se obtiene recorriendo los valores ordenados y conservando la suma de probabilidades:

function acumulada(valores, probabilidades) {
  let total = 0;
  return valores.map((valor, i) => {
    total += probabilidades[i];
    return {valor, probabilidad: total};
  });
}

console.log(acumulada([0, 1], [0.7, 0.3]));

La suma acumulada nunca disminuye y termina en 1. Pulsa Ejecutar para observarla.

29.9 Simulación de probabilidades acumuladas

Frecuencia observada de X≤q

Ensayos:

La simulación genera valores de X y cuenta cuántos son menores o iguales que q. Esa frecuencia relativa se compara con F(q).

29.9 CDF de una variable continua

En una variable continua, la CDF suele ser una curva suave. Se obtiene acumulando el área bajo la densidad:

F(x)=P(X≤x)=∫_−∞^xf(t)dt

La idea de acumulación es la misma, aunque ya no aparecen saltos aislados.

29.10 CDF y toma de decisiones

La función acumulada permite calcular percentiles, umbrales y riesgos. Por ejemplo, P(X≤10) puede representar la probabilidad de que un tiempo de respuesta no supere diez segundos.

29.11 Aplicaciones

Las CDF se usan para comparar distribuciones, calcular probabilidades de cumplimiento, estimar percentiles y analizar tiempos de espera, errores y resultados de algoritmos.

29.12 Errores frecuentes

Confundir F(x) con p(x): la primera acumula, la segunda corresponde a un valor puntual.
Leer F(x) como P(X<x) sin considerar la convención X≤x.
Olvidar restar F(a) al calcular un intervalo.
Dibujar una CDF decreciente o con valores fuera de [0,1].

29.13 Qué debes recordar de este tema

La función de distribución acumulada es F(x)=P(X≤x). Para una variable discreta se construye sumando p(x), aparece como una escalera y permite calcular intervalos mediante diferencias de valores acumulados.

29.14 Conclusión

La CDF ofrece una vista acumulada de una distribución. Con ella podemos saber cuánta probabilidad se ha reunido hasta un umbral y conectar funciones de probabilidad, intervalos y percentiles.

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