La esperanza matemática es el promedio ponderado de los valores posibles de una variable aleatoria. Describe el centro de una distribución y puede interpretarse como el resultado medio esperado al repetir muchas veces el experimento.
Si X es discreta y toma valores x₁, x₂, ..., xₙ con probabilidades p(xᵢ), su esperanza es:
No es necesariamente un valor que X pueda tomar. Es un promedio calculado dando más peso a los resultados más probables.
Para un dado equilibrado:
3,5 no es una cara del dado. Es el promedio que se observaría aproximadamente al realizar muchos lanzamientos.
En un promedio común todos los valores tienen el mismo peso. En la esperanza, cada valor se pondera según su probabilidad. Un resultado raro aporta poco, mientras que un resultado frecuente aporta más.
La esperanza no predice el resultado de un único ensayo. Si repetimos el experimento muchas veces y calculamos el promedio de los valores observados, ese promedio tiende a acercarse a E(X) bajo condiciones adecuadas.
Un juego paga 10 unidades con probabilidad 0,1 y 0 unidades con probabilidad 0,9. Su esperanza es:
En promedio, el pago por jugada es 1 unidad, aunque la mayoría de las jugadas pague cero.
Las barras muestran p(x), mientras que la marca vertical indica E(X). La posición de la marca resume el equilibrio entre los valores y sus pesos.
La esperanza es lineal. Para constantes a y b:
También se cumple E(X+Y)=E(X)+E(Y), incluso cuando X e Y no son independientes.
La esperanza se implementa como la suma de cada valor multiplicado por su probabilidad:
function esperanza(valores, probabilidades) {
return valores.reduce(
(total, valor, i) => total + valor * probabilidades[i], 0
);
}
console.log(esperanza([1, 2, 3, 4, 5, 6],
[1/6, 1/6, 1/6, 1/6, 1/6, 1/6])); // 3.5El resultado puede no ser un valor posible: es el promedio ponderado. Pulsa Ejecutar para calcularlo.
El promedio de los primeros ensayos puede oscilar bastante. A medida que se agregan observaciones, las oscilaciones suelen reducirse y el promedio se acerca al valor esperado.
Si IA vale 1 cuando ocurre A y 0 cuando no ocurre, entonces:
Esta identidad permite convertir conteos de eventos en promedios y aparece con frecuencia en estadística y algoritmos.
La esperanza se usa para evaluar pagos medios, costos, tiempos, consumo de recursos, rendimiento esperado y riesgo promedio. Es una herramienta central para comparar decisiones bajo incertidumbre.
La esperanza matemática es el promedio ponderado E(X)=Σx·p(x). Representa el centro o resultado medio a largo plazo, pero no garantiza que ese valor aparezca en un ensayo particular.
La esperanza resume una distribución en un único valor teniendo en cuenta las probabilidades. Su interpretación como promedio acumulado conecta el cálculo teórico con la observación experimental y prepara el estudio de la varianza.