La covarianza mide cómo varían conjuntamente dos variables aleatorias. Indica si, cuando una variable se encuentra por encima de su media, la otra tiende también a estar por encima, por debajo o sin una tendencia lineal clara.
La varianza estudia la dispersión de una sola variable alrededor de su esperanza. Cuando observamos pares (X,Y), también nos interesa saber si las desviaciones de X y de Y tienden a ocurrir juntas.
Sean X e Y dos variables aleatorias con medias μX y μY. La covarianza se define como:
Para variables discretas que se observan en pares:
El cálculo utiliza la distribución conjunta: necesitamos conocer qué pares de valores ocurren y con qué probabilidades.
El producto de las desviaciones puede ser positivo o negativo:
Por eso una covarianza positiva sugiere que ambas variables tienden a moverse en la misma dirección, mientras que una covarianza negativa sugiere movimientos opuestos.
Consideremos tres pares de observaciones:
Las medias son μX=2 y μY=4. Los productos de desviaciones son:
La covarianza poblacional es (2+0+2)/3=4/3. El resultado positivo refleja que los valores altos de X aparecen junto con valores altos de Y.
Al desarrollar los productos y utilizar la linealidad de la esperanza, obtenemos:
Esta identidad puede simplificar los cálculos. Primero se calcula el promedio del producto XY y luego se resta el producto de las medias.
En un diagrama de dispersión, cada par se representa como un punto. Una nube que se eleva de izquierda a derecha suele producir covarianza positiva; una nube que desciende suele producir covarianza negativa. Si la nube no muestra una dirección lineal clara, la covarianza puede ser cercana a cero.
La covarianza resume una tendencia conjunta, pero no describe por sí sola toda la forma de la nube ni demuestra una relación causal.
Si X e Y son independientes, entonces:
La razón es que E(XY)=E(X)E(Y). Sin embargo, la recíproca no siempre es cierta: una covarianza igual a cero indica ausencia de relación lineal promedio, pero puede existir una dependencia no lineal.
Por ejemplo, si Y=X² y X tiene una distribución simétrica alrededor de cero, puede ocurrir Cov(X,Y)=0 aunque Y dependa completamente de X.
El gráfico representa observaciones de X e Y. La línea central marca las medias. Las regiones donde ambas desviaciones tienen el mismo signo contribuyen positivamente; las regiones donde tienen signos opuestos contribuyen negativamente.
Una función puede calcular la covarianza poblacional de dos arreglos de igual longitud:
function covarianza(xs, ys) {
const mediaX = xs.reduce((suma, x) => suma + x, 0) / xs.length;
const mediaY = ys.reduce((suma, y) => suma + y, 0) / ys.length;
const suma = xs.reduce(
(total, x, i) => total + (x - mediaX) * (ys[i] - mediaY),
0
);
return suma / xs.length;
}
console.log(covarianza([1, 2, 3], [2, 4, 6])); // 1.333...El botón Ejecutar permite probar el cálculo con los tres pares del ejemplo.
La simulación genera pares según el modelo elegido y calcula la covarianza observada. Al aumentar la cantidad de pares, el resultado suele estabilizarse alrededor del valor teórico del modelo.
La covarianza cumple propiedades importantes:
Las constantes sumadas no afectan la covarianza porque no modifican las desviaciones respecto de las medias. Multiplicar X por a multiplica sus desviaciones y, por tanto, la covarianza por a.
La varianza de una suma se expresa mediante covarianzas:
Si X e Y son independientes, la covarianza es cero y la fórmula se reduce a la suma de las varianzas. Si se mueven juntas, la variabilidad de la suma puede ser mayor; si se compensan, puede ser menor.
La covarianza tiene unidades compuestas: si X está en segundos e Y en bytes, Cov(X,Y) queda en segundos·bytes. Su magnitud depende de las escalas elegidas, por lo que covarianzas de pares de variables diferentes no siempre son comparables directamente.
La correlación, que se estudiará en el próximo tema, normaliza la covarianza usando las desviaciones estándar.
La covarianza se utiliza para estudiar variables que cambian juntas: tiempo y consumo de memoria, temperatura y demanda, rendimiento y cantidad de datos, o precio y volumen de ventas. También es una pieza fundamental de matrices de covarianza, análisis multivariado y métodos de reducción dimensional.
La covarianza estudia si dos variables tienden a desviarse juntas en la misma dirección o en direcciones opuestas. Su signo informa sobre la tendencia lineal y su valor depende de las unidades.
La covarianza extiende la idea de dispersión desde una variable hacia una pareja de variables. Permite analizar movimientos conjuntos, entender la varianza de sumas y preparar una medida comparable entre escalas: la correlación.