La distribución geométrica modela cuántos ensayos de Bernoulli necesitamos realizar hasta obtener el primer éxito. Es adecuada para estudiar esperas, intentos y repeticiones hasta que ocurre un evento.
En la distribución binomial fijábamos una cantidad de ensayos y contábamos éxitos. En la distribución geométrica hacemos la pregunta inversa: repetimos ensayos hasta que aparece el primer éxito y contamos cuántos intentos fueron necesarios.
La distribución geométrica supone ensayos de Bernoulli independientes, con la misma probabilidad p de éxito en cada intento. Además, el proceso puede continuar indefinidamente hasta encontrar un éxito.
Si la probabilidad cambia entre intentos, si existe dependencia o si hay un número máximo fijo de oportunidades, el modelo geométrico simple puede no ser apropiado.
Definimos X como el número del ensayo en que aparece el primer éxito. Para que X=k, deben ocurrir k−1 fracasos seguidos y luego un éxito:
La secuencia de fracasos tiene probabilidad (1−p)k−1 y el éxito final tiene probabilidad p. Al multiplicarlas obtenemos la probabilidad de que el primer éxito ocurra exactamente en k.
Si una moneda equilibrada tiene p=0,5 de obtener cara, la probabilidad de que la primera cara aparezca en el tercer lanzamiento es:
La secuencia correspondiente es cruz, cruz, cara. Si la primera cara aparece en el primer lanzamiento, la probabilidad es 0,5.
Para que el primer éxito ocurra después de k ensayos, los primeros k ensayos deben ser fracasos:
Por ejemplo, con p=0,2, la probabilidad de no obtener éxito en los primeros cinco intentos es 0,8⁵≈0,32768.
La probabilidad de obtener el primer éxito como máximo en k ensayos se calcula mediante el complemento:
Esta fórmula suele ser más sencilla que sumar las probabilidades de X=1, X=2, ..., X=k. A medida que k crece, la probabilidad acumulada se acerca a 1 si p>0.
Para X∼Geométrica(p), donde X cuenta el ensayo del primer éxito:
Si p=0,25, el número esperado de ensayos es 4. La esperanza no dice que el éxito vaya a aparecer exactamente en el cuarto intento; es un promedio a largo plazo.
Las barras muestran la probabilidad de que el primer éxito ocurra en cada intento. La cola continúa indefinidamente, aunque el gráfico muestra una cantidad limitada de valores.
Un ensayo geométrico se puede simular repitiendo lanzamientos hasta que aparece el primer éxito:
function primerExito(p) {
let ensayos = 0;
do {
ensayos++;
} while (Math.random() >= p);
return ensayos;
}
console.log(primerExito(0.25)); // 1, 2, 3, ...Pulsa Ejecutar para observar un número de ensayos. Cada ejecución puede producir un resultado diferente.
La simulación repite el proceso completo y registra en qué intento aparece el primer éxito. La frecuencia observada se compara con la distribución teórica.
La distribución geométrica tiene una propiedad especial:
Si ya transcurrieron m intentos sin éxito, la probabilidad de esperar más de n intentos adicionales es la misma que al comenzar desde cero. El pasado de fracasos no modifica la distribución de la espera futura.
Algunos textos definen la variable geométrica como el número de ensayos hasta el primer éxito, X=1,2,3,... Otros cuentan la cantidad de fracasos antes del primer éxito, Y=0,1,2,...
Ambas convenciones describen el mismo proceso y se relacionan mediante X=Y+1. Siempre hay que verificar cuál usa la fuente o el programa.
La geométrica cuenta ensayos hasta un primer éxito; la binomial cuenta éxitos en una cantidad fija de ensayos. La binomial negativa generaliza la geométrica al contar ensayos hasta obtener r éxitos.
También se relaciona con la distribución exponencial: en ciertos contextos, la geométrica modela esperas discretas y la exponencial esperas continuas.
Se usa para modelar intentos hasta una conexión exitosa, llamadas hasta obtener respuesta, pruebas hasta detectar una falla, paquetes hasta encontrar un error, clientes hasta lograr una conversión y repeticiones hasta que un algoritmo alcanza una condición.
La distribución geométrica describe el número de ensayos hasta el primer éxito en ensayos independientes con probabilidad constante p.
La distribución geométrica transforma una secuencia de ensayos binarios en una variable de espera. Su fórmula, su propiedad de falta de memoria y su relación con la binomial negativa la convierten en un modelo fundamental para analizar intentos hasta alcanzar un primer resultado favorable.