El espacio muestral reúne todos los resultados posibles de un experimento aleatorio. Definirlo correctamente es el primer paso para calcular probabilidades y describir eventos.
Para estudiar un experimento aleatorio necesitamos saber qué resultados puede producir. El conjunto formado por todos esos resultados se llama espacio muestral y suele representarse con la letra griega Ω (omega).
Cada elemento de Ω es un resultado posible del experimento. Una vez definido el espacio muestral, podemos describir eventos como subconjuntos de Ω y asignarles probabilidades.
La construcción del espacio muestral parece sencilla en experimentos pequeños, pero exige atención: debemos decidir qué información forma parte del resultado y evitar incluir resultados imposibles o repetirlos.
Un espacio muestral es el conjunto de todos los resultados que consideramos posibles al realizar un experimento aleatorio. Se puede escribir mediante llaves:
El símbolo Ω no indica un resultado concreto. Representa el conjunto completo antes de saber cuál resultado se observará.
Un espacio muestral es finito cuando contiene una cantidad limitada de resultados. Es el caso de una moneda, un dado o una carta extraída de un mazo.
Puede ser infinito cuando los resultados posibles no terminan o forman un intervalo. Por ejemplo, el tiempo exacto que tarda un servidor en responder puede ser cualquier valor real dentro de un rango:
La forma de calcular probabilidades cambia según el tipo de espacio. En un espacio finito podemos contar resultados; en uno continuo normalmente usamos intervalos, funciones y áreas.
Podemos seguir un procedimiento ordenado:
Por ejemplo, si lanzamos dos monedas y nos interesa el orden, debemos distinguir cara-cruz de cruz-cara. Si solo nos interesa la cantidad de caras, ambos casos pertenecen al mismo resultado resumido: una cara.
En un experimento simple, cada resultado puede enumerarse directamente:
| Experimento | Espacio muestral Ω | Cantidad de resultados |
|---|---|---|
| Lanzar una moneda | {cara, cruz} | 2 |
| Lanzar un dado | {1, 2, 3, 4, 5, 6} | 6 |
| Extraer un color de una bolsa | {rojo, azul, verde} | 3 |
| Elegir una vocal | {a, e, i, o, u} | 5 |
Cuando combinamos dos o más acciones, el espacio muestral crece. Para dos lanzamientos de dado, cada resultado puede representarse como un par ordenado:
El primer número corresponde al primer dado y el segundo al segundo dado. El resultado (2,5) es diferente de (5,2) porque el orden forma parte de la observación.
Si en lugar de observar cada dado solo observamos la suma, el resultado se resume como un número entre 2 y 12. Esa descripción es válida, pero ya no conserva toda la información del experimento original.
El siguiente explorador permite elegir un experimento y mostrar sus resultados posibles. La cantidad de resultados se calcula a partir de la representación seleccionada.
La lista se muestra completa para los experimentos pequeños. En un experimento real con muchos resultados conviene mostrar también una descripción o una regla de generación.
La simulación no calcula aún probabilidades: solo ayuda a comprobar qué pertenece al espacio muestral. Esta separación es importante. Primero definimos los resultados; luego estudiamos eventos y asignamos probabilidades.
En JavaScript podemos representar un espacio muestral finito con un arreglo. Cada elemento del arreglo corresponde a un resultado posible:
const espacioDado = [1, 2, 3, 4, 5, 6];
const espacioMoneda = ["cara", "cruz"];
console.log(espacioDado.length); // 6
console.log(espacioMoneda.includes("cara")); // truePara un experimento compuesto podemos generar combinaciones:
const dado = [1, 2, 3, 4, 5, 6];
const espacioDosDados = [];
for (const primero of dado) {
for (const segundo of dado) {
espacioDosDados.push([primero, segundo]);
}
}
console.log(espacioDosDados.length); // 36Todos los resultados de dos monedas son posibles, pero si las monedas son equilibradas también tienen la misma probabilidad. Podemos repetir el experimento y observar cómo se distribuyen las frecuencias.
En cada ejecución las barras serán diferentes. Con muchas repeticiones, las cuatro frecuencias relativas suelen acercarse a 25%, siempre que el modelo use monedas equilibradas e independientes.
Un espacio muestral enumera posibilidades, pero no indica por sí solo qué probabilidad tiene cada una. En un dado equilibrado, cada cara suele modelarse con probabilidad 1/6. En un dado cargado, las seis caras siguen perteneciendo a Ω, pero sus probabilidades ya no son iguales.
También debemos tener cuidado con la forma de describir los resultados. En dos lanzamientos de dado, las sumas no son igualmente probables: hay más combinaciones que producen 7 que combinaciones que producen 2.
El espacio muestral es la base sobre la que se construye toda la descripción probabilística de un experimento. Una vez que conocemos sus resultados posibles, podemos definir eventos, estudiar sus operaciones y calcular sus probabilidades.
En el próximo tema veremos qué son los eventos o sucesos y cómo se representan como subconjuntos del espacio muestral.