La distribución normal es una distribución continua, simétrica y con forma de campana. Aparece en mediciones, errores y promedios, y queda determinada por su media μ y su desviación estándar σ.
La distribución normal concentra la mayor parte de sus valores alrededor de la media y asigna probabilidades cada vez menores a valores alejados. Su forma simétrica facilita comparar posiciones respecto del centro.
Una variable X tiene distribución normal con media μ y desviación estándar σ si su densidad es:
La densidad indica concentración relativa, no probabilidad puntual. Para obtener una probabilidad se calcula el área bajo la curva en un intervalo.
Modificar μ desplaza toda la campana sin cambiar su forma. Aumentar σ la hace más ancha y baja; disminuir σ la hace más estrecha y alta. En todos los casos el área total permanece igual a 1.
En la normal, media, mediana y moda coinciden en μ. La densidad alcanza su máximo en el centro y decrece de forma simétrica hacia ambos lados.
La simetría permite afirmar P(X<μ)=P(X>μ)=0,5, aunque la probabilidad de X=μ sea cero por tratarse de una variable continua.
Cuando los datos siguen aproximadamente una distribución normal:
Son aproximaciones útiles, no identidades exactas para cualquier conjunto de datos. Debemos comprobar que el modelo normal sea razonable.
Para comparar un valor con el centro de su distribución, calculamos su puntuación z:
El valor z indica cuántas desviaciones estándar se encuentra x por encima o por debajo de la media. Si z=2, el valor está dos desviaciones estándar sobre μ; si z=−1, está una por debajo.
Las probabilidades normales se obtienen mediante áreas. Por ejemplo:
La transformación convierte X en una variable normal estándar Z. Las tablas o funciones de distribución acumulada permiten consultar el área correspondiente.
Modifica μ, σ y el intervalo [a,b]. La zona sombreada representa la probabilidad de que X se encuentre dentro del intervalo.
El método de Box–Muller transforma dos números uniformes en una observación normal estándar:
function normal(media, desvio) {
const u1 = Math.random();
const u2 = Math.random();
const z = Math.sqrt(-2 * Math.log(u1))
* Math.cos(2 * Math.PI * u2);
return media + desvio * z;
}
console.log(normal(100, 15)); // observación normalPulsa Ejecutar para generar una observación con media 100 y desviación estándar 15.
La simulación genera observaciones normales y calcula cuántas caen dentro del intervalo seleccionado. También informa la media y la desviación estándar de la muestra.
La normal aparece con frecuencia al estudiar sumas y promedios de muchas variables independientes. El teorema central del límite explica por qué, bajo condiciones generales, esos promedios se aproximan a una normal cuando el tamaño de la muestra crece.
Esto no significa que cada dato individual sea normal: la aproximación puede referirse a la distribución del promedio o de la suma.
La normal asigna probabilidades pequeñas a valores muy alejados, pero no los prohíbe. Un dato a más de tres desviaciones estándar es poco frecuente bajo el modelo y puede motivar una revisión, aunque no demuestra por sí solo que sea un error.
Se utiliza para modelar errores de medición, alturas, resultados agregados, ruido, tiempos y promedios, siempre que la forma simétrica de campana sea compatible con los datos. También es central en inferencia estadística y aprendizaje automático.
La distribución normal es continua, simétrica y queda determinada por su media y desviación estándar. Las probabilidades son áreas bajo la campana.
La distribución normal proporciona un modelo flexible y fundamental para datos simétricos y para la distribución aproximada de sumas y promedios. La estandarización permite comparar valores y calcular áreas mediante la normal estándar.