La distribución chi-cuadrado modela sumas de cuadrados de variables normales estándar. Es no negativa, depende de los grados de libertad y aparece en el análisis de varianzas, independencia y bondad de ajuste.
Si Z1,...,Zν son variables normales estándar independientes, entonces la suma de sus cuadrados tiene una distribución chi-cuadrado con ν grados de libertad:
Para x>0, la densidad chi-cuadrado con ν grados de libertad es:
La función gamma generaliza el factorial. Para ν entero par, Γ(ν/2) puede relacionarse con factoriales y el cálculo se simplifica.
La chi-cuadrado es asimétrica porque no puede tomar valores negativos. Con pocos grados de libertad concentra masa cerca de cero y tiene una cola derecha pronunciada. Al aumentar ν, se vuelve menos asimétrica y más parecida a una campana.
La forma depende únicamente de ν; no tiene un parámetro de localización que pueda desplazarla hacia valores negativos.
Si Q∼χ²(ν), entonces:
La media y la varianza crecen con los grados de libertad. La varianza es el doble de la media.
La distribución t se construye usando una normal estándar Z y una chi-cuadrado V independientes:
La chi-cuadrado aporta la estimación aleatoria de una escala. Esto explica por qué la t tiene colas más pesadas que la normal.
Si X1,...,Xn provienen de una población normal con varianza σ², se cumple:
Esta relación permite construir intervalos y pruebas sobre una varianza poblacional. Los grados de libertad son n−1 porque se estima la media con la muestra.
Una estadística chi-cuadrado puede comparar frecuencias observadas con frecuencias esperadas:
Si las diferencias son grandes respecto de lo que se esperaría por azar, el estadístico aumenta. La distribución de referencia permite evaluar si la discrepancia es compatible con el modelo.
Modifica los grados de libertad para observar cómo cambia la densidad. La línea vertical marca la media ν y el área sombreada muestra un intervalo de valores positivos.
Una forma directa de generar una chi-cuadrado es sumar cuadrados de normales estándar:
function normalEstandar() {
return Math.sqrt(-2 * Math.log(Math.random()))
* Math.cos(2 * Math.PI * Math.random());
}
function chiCuadrado(grados) {
let suma = 0;
for (let i = 0; i < grados; i++) {
const z = normalEstandar();
suma += z * z;
}
return suma;
}
console.log(chiCuadrado(4));Pulsa Ejecutar para generar una observación con cuatro grados de libertad.
La simulación suma cuadrados de normales estándar y compara la media observada con ν. También cuenta cuántos valores quedan por debajo del límite elegido.
Para una tabla de contingencia, la prueba chi-cuadrado de independencia compara las frecuencias observadas con las esperadas si las dos variables fueran independientes:
Las diferencias se agregan mediante contribuciones (O−E)²/E. Una contribución grande identifica celdas especialmente alejadas de la independencia esperada.
En una tabla con r filas y c columnas, los grados de libertad habituales son:
El número refleja cuántas cantidades pueden variar libremente después de fijar los totales de filas y columnas.
La distribución chi-cuadrado se utiliza para estudiar varianzas, bondad de ajuste, independencia entre variables categóricas y homogeneidad de proporciones. También es un componente de las distribuciones t y F.
La chi-cuadrado modela sumas de cuadrados de normales estándar y aparece en problemas de varianza, ajuste e independencia.
La distribución chi-cuadrado proporciona una referencia para medir discrepancias cuadráticas y variabilidad. Su asimetría y sus grados de libertad deben tenerse en cuenta al analizar muestras, tablas y estimaciones de varianza.