La ley de los grandes números explica por qué el promedio de muchas observaciones tiende a estabilizarse cerca de su valor esperado. Es uno de los puentes fundamentales entre la probabilidad teórica y los datos observados.
Supongamos que repetimos muchas veces un experimento aleatorio bajo las mismas condiciones. El resultado de cada ensayo puede variar, pero el promedio acumulado suele acercarse a un número estable: la esperanza matemática.
La flecha representa convergencia cuando el número de observaciones crece. No significa que cada nuevo promedio sea exactamente igual a la esperanza.
Para una muestra X1,...,Xn, el promedio muestral es:
Si las observaciones son independientes y tienen la misma distribución, la ley de los grandes números indica que X̄n se aproxima a μ=E(X), siempre que la esperanza exista.
La ley débil afirma que, para todo ε>0, la probabilidad de que el promedio se aleje de μ más que ε tiende a cero:
La palabra “débil” se refiere al tipo de convergencia: la afirmación habla de probabilidades de error, no de que cada secuencia particular tenga que converger.
La ley fuerte afirma que X̄n converge a μ con probabilidad 1:
Es una afirmación más intensa. En términos intuitivos, casi toda secuencia infinita de resultados termina teniendo un promedio que se aproxima a la esperanza, aunque puedan existir excepciones matemáticas de probabilidad cero.
Codifiquemos cara como 1 y cruz como 0. Si la moneda es equilibrada, E(X)=0,5. Después de pocos lanzamientos, la proporción de caras puede ser 0,2 o 0,8; con muchos lanzamientos, esa proporción tiende a acercarse a 0,5.
La ley no garantiza que en 100 lanzamientos aparezcan exactamente 50 caras. Describe la tendencia al aumentar el tamaño de la repetición.
Para un dado justo, el valor esperado de la puntuación es:
Una tirada individual nunca produce 3,5, pero el promedio de muchas tiradas sí puede acercarse a ese valor. Esta es una diferencia importante entre un resultado individual y un promedio.
Si X1,...,Xn son independientes con varianza σ², entonces:
La dispersión del promedio disminuye al crecer n. Su desviación estándar es σ/√n, por lo que para reducirla a la mitad se necesita multiplicar el tamaño de muestra por cuatro.
El gráfico muestra el promedio acumulado de lanzamientos de un dado. La línea horizontal representa la esperanza teórica 3,5.
Este programa simula lanzamientos de un dado y calcula el promedio acumulado después de cada lanzamiento:
function promedioDado(ensayos) {
let suma = 0;
for (let i = 1; i <= ensayos; i++) {
const lanzamiento = 1 + Math.floor(Math.random() * 6);
suma += lanzamiento;
}
return suma / ensayos;
}
console.log(promedioDado(10000));Pulsa Ejecutar para obtener un promedio que debería estar cerca de 3,5 cuando se usan muchos ensayos.
Una sola secuencia puede terminar algo por encima o por debajo de la esperanza. Al repetir la experiencia completa, se observa cómo el promedio final se concentra alrededor de 3,5.
La misma idea aparece al contar un evento A. Si Ii vale 1 cuando ocurre A y 0 cuando no ocurre, entonces E(Ii)=P(A) y el promedio de los indicadores es la frecuencia relativa:
Por eso la probabilidad puede interpretarse como el límite ideal de una frecuencia relativa cuando la cantidad de ensayos crece.
Las versiones clásicas requieren observaciones independientes e idénticamente distribuidas, con una esperanza finita. Existen generalizaciones para dependencias y distribuciones diferentes, pero no deben asumirse automáticamente.
Si los datos cambian de régimen, tienen dependencia fuerte o presentan una esperanza inexistente, el promedio puede no comportarse como predice la ley elemental.
La ley de los grandes números describe hacia dónde va el promedio. El teorema central del límite describe cómo fluctúa alrededor de ese destino y qué distribución aproximada tiene el error:
Ambos resultados están relacionados, pero responden preguntas distintas: estabilidad a largo plazo frente a forma de las fluctuaciones.
La ley sustenta el muestreo estadístico, los seguros, el control de calidad, la estimación de tasas, los experimentos A/B, las encuestas y los métodos Monte Carlo. En todos ellos se reemplaza una cantidad teórica por un promedio calculado con datos.
La ley de los grandes números explica por qué los promedios se vuelven confiables con suficientes observaciones. No elimina el azar de los resultados individuales, pero hace que su efecto relativo disminuya en el promedio.