Las operaciones entre conjuntos siguen reglas que permiten transformar, simplificar y comprobar expresiones. Estas propiedades son la base del álgebra de conjuntos.
Las operaciones de unión, intersección, diferencia y complemento no se usan de forma aislada. Muchas veces aparecen combinadas en expresiones más grandes.
Para trabajar con esas expresiones necesitamos conocer sus propiedades. Estas reglas permiten reordenar operaciones, agrupar conjuntos, simplificar resultados y verificar razonamientos.
La propiedad conmutativa indica que el orden de los conjuntos no cambia el resultado en la unión ni en la intersección.
Esta propiedad no se cumple para la diferencia, porque en general A - B no es igual a B - A.
La propiedad asociativa indica que la forma de agrupar los conjuntos no cambia el resultado de una unión o de una intersección.
Gracias a esta propiedad podemos escribir A ∪ B ∪ C o A ∩ B ∩ C sin ambigüedad.
La unión y la intersección se distribuyen una sobre la otra.
Estas propiedades son muy útiles para simplificar expresiones y para razonar con condiciones combinadas.
El conjunto vacío y el conjunto universal funcionan como elementos de identidad según la operación.
| Propiedad | Notación | Interpretación |
|---|---|---|
| Identidad de la unión | A ∪ ∅ = A | Unir con vacío no agrega elementos |
| Identidad de la intersección | A ∩ U = A | Intersectar con el universo no quita elementos de A |
Algunas operaciones quedan dominadas por el conjunto universal o por el conjunto vacío.
Unir con el universo produce el universo. Intersectar con el vacío produce el vacío.
Aplicar unión o intersección de un conjunto consigo mismo no cambia el conjunto.
Estas reglas reflejan que los conjuntos no duplican elementos.
Un conjunto y su complemento se relacionan con el universo y con el conjunto vacío.
El complemento de A contiene exactamente lo que falta para completar el universo.
Las propiedades de absorción permiten simplificar expresiones donde un conjunto aparece combinado con una operación que ya lo contiene.
La parte extra no cambia el resultado porque queda absorbida por A.
La diferencia tiene reglas propias. Algunas se parecen a las del complemento, pero no es una operación conmutativa.
| Propiedad | Notación | Comentario |
|---|---|---|
| Diferencia consigo mismo | A - A = ∅ | No queda ningún elemento exclusivo |
| Diferencia con vacío | A - ∅ = A | El vacío no quita elementos |
| Vacío menos A | ∅ - A = ∅ | No hay elementos para quitar |
| Relación con complemento | A - B = A ∩ Bᶜ | Tomamos A y excluimos B |
| Tipo | Unión | Intersección |
|---|---|---|
| Conmutativa | A ∪ B = B ∪ A | A ∩ B = B ∩ A |
| Asociativa | (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) | (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) |
| Idempotente | A ∪ A = A | A ∩ A = A |
| Identidad | A ∪ ∅ = A | A ∩ U = A |
| Dominación | A ∪ U = U | A ∩ ∅ = ∅ |
Podemos usar propiedades para simplificar expresiones de conjuntos.
Esta simplificación usa la propiedad de absorción. No importa qué elementos tenga B: el resultado final será A.
Las propiedades de conjuntos también pueden interpretarse como propiedades de condiciones lógicas.
Esta expresión representa elementos que cumplen A y además cumplen B o C. La propiedad distributiva permite reescribirla como elementos que cumplen A y B, unidos con elementos que cumplen A y C.
Podemos comprobar una propiedad comparando conjuntos calculados con funciones auxiliares.
function union(a, b) {
return new Set([...a, ...b]);
}
function interseccion(a, b) {
return new Set([...a].filter(elemento => b.has(elemento)));
}
function sonIguales(a, b) {
return a.size === b.size && [...a].every(elemento => b.has(elemento));
}
const a = new Set([1, 2, 3]);
const b = new Set([3, 4, 5]);
console.log(sonIguales(union(a, b), union(b, a)));
console.log(sonIguales(interseccion(a, b), interseccion(b, a)));Ambas comparaciones devuelven verdadero porque unión e intersección son conmutativas.
También podemos verificar una propiedad distributiva con conjuntos concretos.
function union(a, b) {
return new Set([...a, ...b]);
}
function interseccion(a, b) {
return new Set([...a].filter(elemento => b.has(elemento)));
}
function sonIguales(a, b) {
return a.size === b.size && [...a].every(elemento => b.has(elemento));
}
const a = new Set([1, 2, 3]);
const b = new Set([3, 4, 5]);
const c = new Set([2, 5, 6]);
const izquierda = interseccion(a, union(b, c));
const derecha = union(interseccion(a, b), interseccion(a, c));
console.log([...izquierda]);
console.log([...derecha]);
console.log(sonIguales(izquierda, derecha));La igualdad confirma que A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) para esos conjuntos.
| Área | Uso de propiedades | Ejemplo |
|---|---|---|
| Consultas | Reordenar condiciones equivalentes | Optimizar filtros de búsqueda |
| Permisos | Simplificar combinaciones de roles | Evitar reglas duplicadas |
| Pruebas | Comprobar equivalencia de resultados | Validar que dos algoritmos devuelven el mismo conjunto |
| Lógica | Transformar expresiones | Pasar de una condición compuesta a otra equivalente |
Las propiedades fundamentales de las operaciones entre conjuntos permiten trabajar con expresiones complejas de manera ordenada. Son herramientas para simplificar, demostrar equivalencias y razonar sobre condiciones.
En el próximo tema estudiaremos las leyes de De Morgan.