Ley de Little

01 · Punto de partida

Dos medidas, la tercera de regalo (o la alarma)

Mediste L = 2.0 (área) y W = 4 min (vidas) con λ = 0.5/min: λW = 2.0 cierra y dormís tranquilo. Te da L = 2.0 con λW = 2.6: algo está mal —área mal integrada, vidas truncadas, λ cruda con pérdidas o T cortísimo. Esa es la Ley de Little: no predice nada y audita todo.

Vale para M/M/1, M/G/c, prioridades y redes, con supuestos mínimos. Por eso es el chequeo que abre cada validación del curso.

• ¿Qué iguala L = λW y qué su gemela Lq = λWq?
• ¿Qué λ, qué W y qué T exige la auditoría?
• ¿Cómo diagnostico un error del 30%?
• ¿Dónde más aparece (hilos = throughput × latencia)?

02 · Definición

Enunciado, gemela y condiciones

03 · El corazón: el área son las vidas

La misma moneda, dos conteos

Cada cliente aporta su vida al área total: el área bajo N(t) es la suma de vidas. Dividir por T da L a la izquierda y (llegadas/T) × vida media a la derecha. Sin distribuciones, sin Markov, sin FIFO: contabilidad, no probabilidad.

1. 1
   Medir L por área.

   Integrar N(t) en T con warmup. Solo admitidos ocupan área: los perdidos no existen.

2. 2
   Medir W por vidas.

   fin − arr de completados. Con T corto faltan las vidas largas: alargar T o sesga.

3. 3
   Usar λ de admitidos.

   λ_ef = admitidas/T. Con K finita o abandono, λ cruda infla el producto.

4. 4
   Comparar y diagnosticar.

   Error <5% pasa; 5–15% sospecha (T, warmup); >15% bug (área, ceros, unidades).

Little por clase

L_i = λ_iW_i por prioridad o tipo: audita cada fila por separado (VIP y común cierran cada una).

Little por tramo

Vale en cada caja negra estable: en cola, en servicio (a = λE[S]) y en red completa. Tres auditorías por el precio de una.

Concurrencia

Workers = throughput × latencia: el “dimensionador” de sistemas. 100 req/s × 0.05 s = 5 workers ocupados.

Horizonte y warmup

Con T chico o arranque vacío, L y W miran ventanas distintas (vidas que cruzan el borde). Alargar T y descartar inicio.

04 · Ejemplos

Cuatro auditorías de rutina

1. 1
   Banco.

   L = 2.0, λ = 1/3/min, W = 6: 0.333 × 6 = 2.0 ✓. Si tu sim da L = 2.4, a depurar.

2. 2
   Web.

   λ = 100/s, W = 0.05 s ⇒ L = 5 workers: si medís 8, la latencia real es mayor (o hay reintentos).

3. 3
   Call center con fuga.

   L = 9.5 con λ = 20 y Pb = 5%: cierra con λ_ef = 19, no con 20.

4. 4
   Soporte por clases.

   VIP: L₁ = 0.2 = λ₁W₁; común: L₂ = 3.0 = λ₂W₂. Cada clase cierra sola.

05 · Representación en Python

little() que audita corridas

Una función de tres líneas que usás al final de cada simulación del curso.

# Auditor Little universal
def little(L, lam, W):
    err = abs(L - lam*W) / L * 100 if L else 0
    return err, "PASA" if err < 5 else ("MIRAR" if err < 15 else "BUG")

print(little(2.0, 1/3, 6.0))   # (0.0, 'PASA')
print(little(2.0, 0.5, 5.2))   # error 30%: BUG

# Auditar tanda: área L contra vidas W (admitidos, T=20)
L, lam = 2.2, 0.5
vidas = [4.0, 5.0, 3.5, 4.5]  # fin-arr de completados
W = sum(vidas)/len(vidas)
print(little(L, lam, W))

06 · Exploración

Laboratorio: la auditora contra el horizonte

Simulamos M/M/1 con c = 1 (semilla fija 37) y medimos L por área contra λW por vidas de completados. Movè el horizonte T: con T = 15 el error es grande (vidas truncadas, arranque); con T = 200 se derrite. Las barras deben empatar: si no, la medición —no Little— falla.

Barras lima (L) y teal (λW): gemelas en régimen con T largo, separadas con T corto o ρ alta. El % es el veredicto.

Preguntas para explorar

1. Con ρ=0.5 y T=150: ¿error? ¿Y con T=15?
2. Con ρ=0.875 y T=50: ¿error? ¿Por qué T=50 no alcanza ahí?
3. ¿Qué tres remedios aplicarías ante un error del 25% en régimen?

07 · Comprensión

Confusiones frecuentes

08 · Práctica guiada

Ejercicios con Python

Ejercicio 1: auditar el banco

L=2.0, λ=1/3/min, W=6.0. ¿Pasa? ¿Y con W=7.8?

# Pasa con 6.0 (0%); con 7.8 el error es 30%: BUG (vidas o área)
for W in [6.0, 7.8]:
    print(W, (abs(2.0 - (1/3)*W)/2.0*100))

Ejercicio 2: workers por Little

λ=1000/s, latencia W=0.2 s. ¿Workers ocupados? ¿Y si W sube a 0.5?

for W in [0.2, 0.5]:
    print(f"W={W} -> L={1000*W:.0f} workers")

Ejercicio 3: diagnosticar 25%

L=2.5, λ=0.5, W=6.25 (error 25%). Nombrá 3 causas y cómo aislarlas.

# 1) T corto -> alargar T y ver si el error cae. 2) Warmup -> descartar inicio.
# 3) Fuga con lam cruda -> usar lam_ef. 4) Vidas truncadas -> solo completados + T largo.
print("Aislar de a una: T, warmup, lam_ef, cierre de vidas")

09 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema cerraremos el círculo simulando: simulación de una cola completa en Python.