Estado transitorio

01 · Punto de partida

El régimen se hace esperar

Abrís vacío con ρ = 0.8: a los 10 min la media va en 2, a los 50 en 3.5, a los 120 en 4. Ninguna de las tres es “error”: es el transitorio, la subida desde el estado inicial hacia el régimen. Con ρ = 0.5 dura 20 min; con ρ = 0.9, más de 100.

Estudiarlo sirve dos veces: para descartarlo bien (Tema 41) y para diseñar aperturas, picos y cortes, donde el sistema vive en transitorio y el régimen nunca llega.

• ¿Cuánto dura el transitorio y de qué depende?
• ¿Cómo se ve: réplicas, media y teoría juntas?
• ¿Vacío, lleno o heredado: qué cambia el arranque?
• ¿Cuándo el transitorio ES el problema (no el descarte)?

02 · Definición

Inicial, evolución y límite

03 · El corazón: réplicas que se abrazan

La media converge, el ruido queda

Una sola corrida sube y baja sin decir cuándo “llegó”. Ocho réplicas grises con su media teal sí: la media sube suave hacia L = 4 (arranque vacío) o baja hacia 4 (arranque lleno). El método de Welch es exactamente ese gráfico.

1. 1
   Fijar N₀ y ρ.

   Vacío (0), lleno (8) o heredado. ρ alta alarga todo.

2. 2
   Correr R réplicas.

   Mismo N₀, semillas distintas, horizonte común T.

3. 3
   Promediar por instante.

   Media de N(t) entre réplicas en grilla fina: la curva teal del laboratorio.

4. 4
   Leer duración.

   Instante donde la media entra en la banda de L y no sale: ese es tu t₀ (Tema 41).

Chapman-Kolmogorov

Ecuaciones exactas de P_n(t): balance con derivada. Resolubles en casos chicos; en general se simulan.

Relajación τ

Tiempo característico ≈ W/(1−ρ) en orden: con ρ→1 diverge. Regla práctica 5–10×W del Tema 41.

Dependencia inicial

Vacío sube, lleno baja, heredado continúa. El signo del sesgo delata el arranque.

Ergodicidad

La media temporal de una corrida larga iguala a la poblacional: por eso el warmup + T largo funciona.

04 · Ejemplos

Cuatro transitorios con nombre

1. 1
   Apertura del banco.

   N₀ = 0, ρ = 0.8: la primera hora sube de 0 a 4. Medirla es medir la largada.

2. 2
   Pico del mediodía.

   λ salta de 0.2 a 0.45: nuevo transitorio hacia L = 9 que no llega antes de que baje.

3. 3
   Corte que vacía.

   Tras la caída, N₀ = 0 con backlog afuera: avalancha de reintentos (transitorio con ρ > 1).

4. 4
   Cambio de turno heredado.

   N₀ = 6 con ρ = 0.5: baja de 6 a 1. Sin warmup sobrestima.

05 · Representación en Python

Réplicas y media por instante

El transitorio se ve promediando historias, no alargando una: R réplicas con grilla común.

# Una réplica M/M/1 con N0 inicial: L temprana [0,30] vs tardía [120,150]
import random
def replica_L(lam, mu, T, N0=0, semilla=9):
    rng = random.Random(semilla)
    inits = [rng.expovariate(mu) for _ in range(N0)]
    evs = []
    acc = 0.0
    for s in inits:  # salidas del lote inicial (FIFO encadenado)
        acc += s
        evs.append((acc, -1))
    libre = acc
    t = 0.0
    while True:
        t += rng.expovariate(lam)
        if t > T:
            break
        ini = max(t, libre)
        fin = ini + rng.expovariate(mu)
        libre = fin
        evs.append((t, 1))
        evs.append((fin, -1))
    evs.sort()
    def L_en(a, b):
        n = N0
        for te, d in evs:
            if te <= a:
                n += d
        prev, area = a, 0.0
        for te, d in evs:
            if te <= a:
                continue
            if te > b:
                break
            area += n * (te - prev)
            n += d
            prev = te
        area += n * (b - prev)
        return area / (b - a)
    return {"temprana": round(L_en(0, 30), 2), "tardia": round(L_en(120, 150), 2)}

print("N0=0:", replica_L(0.4, 0.5, 150, N0=0))
print("N0=8:", replica_L(0.4, 0.5, 150, N0=8))

# Media entre réplicas en un instante (Welch): a más R, menos ruido
import random
def media_en(t, lam, mu, R=8):
    vals = []
    for r in range(R):
        rng = random.Random(1000+r)
        vals.append(rng.expovariate(lam) + rng.expovariate(mu))
    return sum(vals)/len(vals)

print(f"media de {8} muestras: {media_en(0, 0.4, 0.5):.2f}")

06 · Exploración

Laboratorio: ocho historias, una media

Ocho réplicas M/M/1 (S = 2, T = 300) nacen en tu N₀ y comparten λ. Las grises son historias; la teal es su media por instante; la punteada, L teórica. Con N₀ = 0 la media sube; con 8, baja: ambas abrazan L. Con ρ = 0.9 el abrazo tarda.

Grises = réplicas; teal = media por instante; punteada = L. Temprana delata el arranque, tardía abraza la teoría.

Preguntas para explorar

1. Con ρ=0.8, N₀=0: ¿temprana vs tardía vs 4?
2. Con N₀=8: ¿temprana vs tardía? ¿Qué cambió de signo?
3. Con ρ=0.9 y N₀=0: ¿la media a t=300 ya abrazó? ¿Y una réplica sola?

07 · Comprensión

Confusiones frecuentes

08 · Práctica guiada

Ejercicios con Python

Ejercicio 1: leer el abrazo

Media temprana 2.3, tardía 4.1, L = 4.0, N₀=0. ¿Hay transitorio? ¿t₀?

# temprana lejos (-42%), tardía encima (+2%): transitorio de ~30-50
print("t0 ≈ 30: la tardía ya abraza")

Ejercicio 2: signo del arranque

N₀=8, temprana 6.5, tardía 4.0. ¿Qué arranque fue? ¿Sesgo sin warmup?

print(f"lleno que baja: sin warmup sobrestima +{(6.5-4.0)/4.0:.0%}")  # +62%

Ejercicio 3: regla de duración

M/M/1 con W = 20 (ρ=0.9, S=2). ¿Transitorio y t₀ sugerido?

W = 20.0
print(f"transitorio {5*W:.0f}-{10*W:.0f}, t0 ≈ {5*W:.0f}+")

09 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema nos quedamos en el destino: el estado estacionario.